[논문 리뷰] On an infinite series for $(1+1/x)^x$

Cristinel Mortici, Yue Hu|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 30.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $(1+1/x)^x$에 대한 개선된 渐近 전개를 $x + \frac{11}{12}$의 음의 거듭제곱에 대한 급수를 사용하여 구성하며, $\varepsilon = \frac{11}{12}$가 이러한 이동 중에서 가장 빠른 수렴을 이끌어내는 것을 증명한다. 계수 $d_n$에 대한 재귀 관계를 유도하고, 적분 표현을 제공하며, 양의 추측을 Carleman 유형 부등식에 대해 최적화된 이동 파라미터로 확장한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to construct a new expansion of $(1+1/x)^x$ related to Carleman's inequality. Our results extend some results of Yang [Approximations for constant e and their applications J. Math. Anal. Appl. 262 (2001) 651-659].

연구 동기 및 목표

• 양이 제기한 열린 문제를 해결하기 위해, 전개 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e\left(1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{(x+\varepsilon)^n}\right)$에서 최적의 이동 $\varepsilon$를 결정하는 것.
• 수렴 속도 측면에서 이전 전개보다 뛰어난 $\varepsilon = \frac{11}{12}$를 선택하여 $(1+1/x)^x$에 대한 빠르게 수렴하는 급수 전개를 구성하는 것.
• $x + \frac{11}{12}$를 중심으로 한 급수 전개에서 계수 $d_n$에 대한 재귀 관계를 도출하는 것.
• $g(s) = \frac{1}{\pi} s^s (1-s)^{1-s} \sin(\pi s)$를 사용한 계수 $d_n$의 적분 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $n^k(\omega_n - \omega_{n+1})$의 극한과 $\omega_n$의 수렴 속도 사이의 관계를 연결하는 보조정리 1을 사용하여 최적의 이동 $\varepsilon = \frac{11}{12}$를 결정한다.
• 비율에 따라 매칭된 渐近 전개를 통해 계수를 계산한 형태의 급수 전개 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\left(1 - \frac{1/2}{n+11/12} - \frac{5/288}{(n+11/12)^3} - \cdots \right)$를 도출한다.
• 생성함수 $g(t) = \left(\frac{1 - \frac{11}{12}t}{1 + \frac{1}{12}t}\right)^{\frac{11}{12} - \frac{1}{t}}$를 사용하여 $d_n$에 대한 재귀 관계를 수립하며, 이 함수는 $g(t) = e(1 + c_1 t + c_2 t^2 + \cdots)$를 만족한다.
• 계수 $d_n$은 $d_0 = -1$을 조건으로 하여 $d_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} d_k$의 재귀 관계로 유도되며, 여기서 $a_n$은 11의 거듭제곱과 교대 부호를 포함한다.
• 기존의 $e - (1+1/x)^x$에 대한 적분 공식에 $t = (x + 11/12)^{-1}$을 대입하여 $d_n$에 대한 적분 표현을 도출한다.
• $n \geq 2$일 때 $d_n = \frac{(-1)^n}{12^{n-1}} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{e} \int_0^1 \frac{(12s-11)^{n-1} - 1}{s-1} g(s) ds \right)$의 적분 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\varepsilon \in (0,1]$ 중에서 급수 전개 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e\left(1 - \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n}{(x+\varepsilon)^n}\right)$의 수렴 속도를 최적화하는 값 $\varepsilon$는 무엇인가요?
• RQ2 중심이 $x + \frac{11}{12}$인 전개에서 계수 $d_n$에 대한 재귀 관계를 도출할 수 있는가요?
• RQ3 $g(s) = \frac{1}{\pi} s^s (1-s)^{1-s} \sin(\pi s)$를 포함한 적분을 통해 계수 $d_n$을 어떻게 표현할 수 있는가요?
• RQ4 이동 값 $\varepsilon = \frac{11}{12}$를 사용한 급수는 이전 전개들, 예를 들어 $n+1$ 기반 전개보다 더 빠른 수렴을 보이나요?
• RQ5 이동을 $\frac{11}{12}$로 최적화했을 때 $(1+1/x)^x$의 渐近 전개의 정확한 구조는 무엇인가요?

주요 결과

• $\varepsilon = \frac{11}{12}$는 $(1+1/x)^x$의 급수 전개에 대해 최적의 값으로, $(0,1]$ 범위 내 모든 $\varepsilon$ 중에서 가장 빠른 수렴 속도를 제공한다.
• 급수 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\left(1 - \frac{1/2}{n+11/12} - \frac{5/288}{(n+11/12)^3} - \cdots \right)$는 $k$개의 항을 잘라내었을 때 오차가 $n^{-k}$의 주요 항을 가지며, 이는 이전 전개의 $n^{-(k-1)}$ 오차보다 뛰어나다.
• 계수 $d_n$은 $d_0 = -1$을 조건으로 하여 $d_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k-1} d_k$의 재귀 관계를 만족하며, 여기서 $a_n = \frac{n+1}{12^{n+2}} \left( \frac{(-1)^{n+1}11 - 11^{n+2}}{n+1} - \frac{(-1)^n - 11^{n+2}}{n+2} \right)$이다.
• $n \geq 2$일 때 $d_n$에 대한 적분 표현은 $d_n = \frac{(-1)^n}{12^{n-1}} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{e} \int_0^1 \frac{(12s-11)^{n-1} - 1}{s-1} g(s) ds \right)$로 주어지며, 여기서 $g(s) = \frac{1}{\pi} s^s (1-s)^{1-s} \sin(\pi s)$이다.
• 첫 번째 몇 개의 계수는 $d_1 = \frac{1}{2}$, $d_2 = 0$, $d_3 = \frac{5}{288}$, $d_4 = \frac{139}{17280}$, $d_5 = \frac{119}{23040}$이며, 이는 향상된 수렴을 확인한다.