[논문 리뷰] On an optimal quadrature formula for approximation of Fourier integrals in the space $L_2^{(1)}$

A.R. Hayotov, Soomin Jeon외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 30.

Numerical methods in inverse problems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $L_2^{(1)}[a,b]$에서의 푸리에 적분을 근사하기 위한 최적의 구적 공식을 구성한다. 오차 기능의 노름을 최소화하기 위해 이산적 두 번째 도함수 연산자의 디지털 아날로그를 유도한 계수를 사용한다. 이 방법은 $C^2[a,b]$ 함수에서 $O(h^2)$ 수렴성을 보이며, 내부 영역에서 MATLAB의 내장 함수 iradon과 유사한 성능을 보이며 X선 CT 영상 복원에 성공적으로 적용된다.

ABSTRACT

This paper deals with the construction of an optimal quadrature formula for the approximation of Fourier integrals in the Sobolev space $L_2^{(1)}[a,b]$ of non-periodic, complex valued functions which are square integrable with first order derivative. Here the quadrature sum consists of linear combination of the given function values in a uniform grid. The difference between the integral and the quadrature sum is estimated by the norm of the error functional. The optimal quadrature formula is obtained by minimizing the norm of the error functional with respect to coefficients. Analytic formulas for optimal coefficients can also be obtained using discrete analogue of the differential operator $d^2/d x^2$. In addition, the convergence order of the optimal quadrature formula is studied. It is proved that the obtained formula is exact for all linear polynomials. Thus, it is shown that the convergence order of the optimal quadrature formula for functions of the space $C^2[a,b]$ is $O(h^2)$. Moreover, several numerical results are presented and the obtained optimal quadrature formula is applied to reconstruct the X-ray Computed Tomography image by approximating Fourier transforms.

연구 동기 및 목표

• Sobolev 공간 $L_2^{(1)}[0,1]$에서 형태 $\int_0^1 e^{2\pi i \omega x} \varphi(x) dx$를 갖는 푸리에 적분을 근사하기 위한 최적의 구적 공식을 개발하는 것.
• 오차 기능의 노름을 $L_2^{(1)}$ 공간에서 최소화함으로써 최적 계수에 대한 명시적 해석 공식을 유도하는 것.
• 선형 변환을 통해 최적 공식을 $[0,1]$에서 임의의 간격 $[a,b]$로 확장하는 것.
• 이산 라돈 변환에서의 X선 컴퓨터 톰로그래피(CT) 영상 복원에 대한 공식의 효과성을 검증하는 것.
• 제안된 최적의 구적 공식이 MATLAB의 내장 함수 iradon과 비교하여 CT 영상 복원에서 어떻게 성능을 발휘하는지 비교하는 것.

제안 방법

• 균일한 격점에서 함수 값의 선형 조합으로서의 구적 규칙을 설정하고, 최적화할 계수를 정의한다.
• 오차 기능 $\ell$를 정의하여 정확한 푸리에 적분과 구적 합의 차이로 표현하며, 딜라 치함수와 특성 함수를 사용한다.
• Sard의 최적 구적 방법을 사용하여 이중 공간 $L_2^{(1)*}[0,1]$에서 오차 기능의 노름을 최소화한다.
• 이산적 두 번째 도함수 연산자 $d^2/dx^2$의 디지털 아날로그를 사용하여 최적 계수에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 유도된 공식을 사용하여 푸리에 변환을 근사하고, 필터링된 역백프로젝션을 통해 CT 영상 복원을 수행한다.
• 다양한 적분 간격과 격자 크기를 사용하여 시험 함수와 Shepp-Logan 폼프에서 수치 실험을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적의 계수에 대한 명시적 공식은 $L_2^{(1)}[0,1]$에서의 푸리에 적분을 위한 구적 공식에서 어떻게 유도되는가?
• RQ2 함수들이 $C^2[a,b]$에 속할 경우 최적의 구적 공식의 수렴 차수는 무엇인가?
• RQ3 제안된 최적의 구적 공식이 CT 영상 복원에서 MATLAB의 iradon 함수와 비교하여 성능은 어떻게 되는가?
• RQ4 최적의 구적 공식은 불연속성 또는 급격한 전이를 갖는 함수의 복원에서 높은 정확도를 유지하는가?
• RQ5 최적의 구적 공식은 $[0,1]$에서 임의의 간격 $[a,b]$로 효과적으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 최적의 구적 공식은 $C^2[a,b]$ 함수에서 $O(h^2)$ 수렴 차수를 달성한다.
• 공식은 모든 일차 다항식에 대해 정확하므로, 이는 두 번째 차수 정확도를 확인한다.
• 오차 기능의 노름은 $d^2/dx^2$의 이산적 아날로그에서 유도된 계수에 의해 최소화된다.
• 수치 결과에 따르면, 더 넓은 적분 간격 $[-25,25]$가 $[-1,1]$보다 더 정확한 복원을 제공한다.
• Shepp-Logan 폼프의 경우, 제안된 최적의 구적 공식은 내부 영역에서 PSNR 29.644와 $E_{\max} = 0.3895$를 기록하였으며, MATLAB의 iradon 함수와 유사한 성능을 보였다.
• 외곽 고리 부분을 제외한 경우, 제안된 방법은 내부 영역 정확도에서 iradon을 초월하였으며, MSE는 $1.9265 \times 10^{-4}$ 대비 $1.9613 \times 10^{-4}$였다.