[논문 리뷰] On Antipodes Of Hom-Hopf algebras

Mohammad Hassanzadeh|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 05.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 코alescence의 정의를 약화시켜 항등원에 대한 콘볼루션에서의 상대적 허브역으로 항등원을 정의한 Hom-Hopf 대수에서의 반대원(antipode)을 조사한다. 반대원이 상대적 허브역대수 및 상대적 허브역코알제브라 준동형임을 증명하며, 비틀기 사상이 가역일 경우 진정한 반대대수 및 반대코알제브라 사상이 됨을 보인다. 주요 결과는 비틀기 사상이 가역인 가환 또는 코가환 Hom-Hopf 대수에서 $ S^2 = \mathrm{id} $임을 보이며, 고전적 Hopf 대수의 성질을 일반화한다.

ABSTRACT

In the recent definition of Hom-Hopf algebras the antipode S is the relative Hominverse of the identity map with respect to the convolution product. We observe that some fundamental properties of the antipode of Hopf algebras and Hom-Hopf algebras, with the original definition, do not hold generally in the new setting. We show that the antipode is a relative Hom-anti algebra and a relative anti-coalgebra morphism. It is also relative Hom-unital, and relative Hom-counital. Furthermore if the twisting maps of multiplications and comultiplications are invertible then S is an anti-algebra and an anti-coalgebra map. We show that any Hom-bialgebra map between two Hom-Hopf algebras is a relative Hom-morphism of Hom-Hopf alegbras. Specially if the corresponding twisting maps are all invertible then it is a Hom-Hopf algebra map. If the Hom-Hopf algebra is commutative or cocommutative we observe that S^2 is equal to the identity map in some sense. At the end we study the images of primitive and group-like elements under the antipode.

연구 동기 및 목표

• 고전적 Hopf 대수에서의 기본 반대원 성질이 상대적 허브역가역성 조건을 갖는 일반화된 Hom-Hopf 대수 설정에서 유지되는지 조사하기.
• 유니탈리티, 코유니탈리티, 또는 반대준동형 성질을 가정하지 않을 경우, 반대원의 어떤 성질이 복원될 수 있는지 규명하기.
• 새로운 정의 하에서 가환 및 코가환 Hom-Hopf 대수에서 $ S^2 $ 의 행동을 분석하기.
• 이 일반화된 프레임워크에서 원시원소 및 군형태 원소에 대한 반대원의 행동을 연구하기.

제안 방법

• 코alescence의 정의를 약화시켜, $ S $ 가 콘볼루션 하에서 항등원의 상대적 허브역임을 조건으로 하는 Hom-bialgebra를 기반으로 한 Hom-Hopf 대수를 정의한다. 즉, 어떤 $ k \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ \alpha^k(S \star \mathrm{id}) = \alpha^k(\mathrm{id} \star S) = \eta \circ \varepsilon $.
• 콘볼루션 항등식과 허브결합성/코결합성 공리에 기반하여, $ S $ 가 상대적 허브반대대수 및 상대적 허브반코알제브라 준동형임을 증명한다.
• 상대적 역원 조건과 허브바이알제브라의 구조를 활용하여, $ S $ 가 상대적 허브유니탈리티 및 상대적 허브코유니탈리티를 갖는다는 것을 증명한다.
• 비틀기 사상 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 가 가역일 경우, $ S $ 가 진정한 반대대수 및 반대코알제브라 사상이 되며, $ S \circ \alpha = \alpha \circ S $ 임을 보인다.
• 가환 및 코가환 Hom-Hopf 대수에서 $ S^2 $ 의 행동을 분석하기 위해, $ S^2 $ 도 $ S $ 의 상대적 허브역임을 보이고, $ \alpha^{k+2} \circ S^2 \circ \beta^2 = \alpha^{k+2} \circ \mathrm{id} \circ \beta^2 $ 를 도출한다.
• 원시원소 및 군형태 원소에 대한 $ S $ 의 작용을 분석하기 위해 상대적 역원 조건을 적용하고, $ \Delta(h) = 1 \otimes h + h \otimes 1 $ 과 $ \Delta(h) = h \otimes h $ 의 정의를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대적 허브역가역성으로 정의된 Hom-Hopf 대수에서 반대원 $ S $ 는 반대대수 및 반대코알제브라 준동형 성질을 유지하는가?
• RQ2 반대원이 엄밀한 반대대수 및 반대코알제브라 사상이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 고전적 결과 $ S^2 = \mathrm{id} $ 는 Hom-Hopf 대수에서 복원될 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 가정 하에서 가능한가?
• RQ4 상대적 허브역가역성 설정 하에서 반대원은 원시원소 및 군형태 원소에 어떻게 작용하는가?
• RQ5 반대원과 비틀기 사상 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 사이의 관계는 무엇이며, 특히 이들이 가역일 경우 어떻게 되는가?

주요 결과

• 반대원 $ S $ 는 엄밀한 반대준동형 성질을 가정하지 않더라도 상대적 허브반대대수 및 상대적 허브반코알제브라 준동형이다.
• 비틀기 사상 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 가 가역일 경우, $ S $ 는 진정한 반대대수 및 반대코알제브라 사상이 되며, $ S \circ \alpha = \alpha \circ S $ 를 만족한다.
• 비틀기 사상 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 가 가역인 가환 Hom-Hopf 대수에서는 $ S^2 = \mathrm{id} $ 가 성립한다.
• 비틀기 사상 $ \alpha $ 와 $ \beta $ 가 가역인 코가환 Hom-Hopf 대수에서는 $ S^2 = \mathrm{id} $ 가 성립한다.
• 모든 원시원소 $ h $ 에 대해 $ k \in \mathbb{N} $ 가 존재하여 $ \alpha^{k+1}(S(h)) = -\alpha^{k+1}(h) $ 를 만족한다.
• 모든 군형태 원소 $ h $ 에 대해 $ k \in \mathbb{N} $ 가 존재하여 $ \alpha^k(S(h)h) = \alpha^k(hS(h)) = 1 $ 를 만족하며, $ S(h) $ 는 $ h $ 의 상대적 허브역이다.