[논문 리뷰] On Approximating the Number of $k$-cliques in Sublinear Time

Talya Eden, Dana Ron외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 16.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 50인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 degree, neighbor, pair 쿼리 접근 방식을 사용하여 그래프 내 $k$-클리크의 수를 근사하기 위한 하위선형 시간 알고리즘을 제시한다. $(1+\epsilon)$-근사값을 높은 확률로 달성하며, 기대 쿼리 및 실행 시간 복잡도는 $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \frac{m^{k/2}}{C_k}\right) \cdot \text{poly}(\log n, 1/\epsilon, k)$이다. 이는 로그 인자 수준에서 최적이며, $C_k = \omega(m^{k/2 - 1})$일 경우 하위선형이다. 방법론은 고도수 정점 샘플링을 통한 $k$-클리크에 대한 새로운 샘플링 절차와 고도수 및 저도수 정점이 포함된 클리크의 균형 잡힌 추정을 사용한다.

ABSTRACT

We study the problem of approximating the number of $k$-cliques in a graph when given query access to the graph. We consider the standard query model for general graphs via (1) degree queries, (2) neighbor queries and (3) pair queries. Let $n$ denote the number of vertices in the graph, $m$ the number of edges, and $C_k$ the number of $k$-cliques. We design an algorithm that outputs a $(1+\varepsilon)$-approximation (with high probability) for $C_k$, whose expected query complexity and running time are $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}}+\frac{m^{k/2}}{C_k} ight)\poly(\log n,1/\varepsilon,k)$. Hence, the complexity of the algorithm is sublinear in the size of the graph for $C_k = ω(m^{k/2-1})$. Furthermore, we prove a lower bound showing that the query complexity of our algorithm is essentially optimal (up to the dependence on $\log n$, $1/\varepsilon$ and $k$). The previous results in this vein are by Feige (SICOMP 06) and by Goldreich and Ron (RSA 08) for edge counting ($k=2$) and by Eden et al. (FOCS 2015) for triangle counting ($k=3$). Our result matches the complexities of these results. The previous result by Eden et al. hinges on a certain amortization technique that works only for triangle counting, and does not generalize for larger cliques. We obtain a general algorithm that works for any $k\geq 3$ by designing a procedure that samples each $k$-clique incident to a given set $S$ of vertices with approximately equal probability. The primary difficulty is in finding cliques incident to purely high-degree vertices, since random sampling within neighbors has a low success probability. This is achieved by an algorithm that samples uniform random high degree vertices and a careful tradeoff between estimating cliques incident purely to high-degree vertices and those that include a low-degree vertex.

연구 동기 및 목표

• 일반 그래프에서 쿼리 액세스를 통해 $k$-클리크 수를 근사하는 하위선형 시간 알고리즘을 설계하는 것.
• 특히 고도수 정점이 포함된 클리크의 효율적 샘플링 문제를 해결하는 것. 기존의 무작위 이웃 샘플링은 성공 확률이 낮아 실패하기 때문이다.
• 이전의 삼각형 수 계산($k=3$)을 위한 하위선형 알고리즘들을 임의의 $k \geq 3$로 일반화하는 것.
• 쿼리 및 실행 시간 복잡도가 $n$, $1/\epsilon$, $k$에 대해 다항로그 인자 수준에서 거의 최적화되도록 하는 것.

제안 방법

• 샘플링된 정점들에 대한 $c_k(u)$의 합을 통해 총 $k$-클리크 수를 추정하기 위해, 크기가 $\widetilde{O}(n / C_k^{1/k})$인 집합 $S$에 대해 균일한 정점 샘플링을 사용한다.
• 각 $k$-클리크가 약간의 확률로 동일하게 샘플링되도록 보장하는 새로운 샘플링 절차를 도입한다. 이는 고도수 정점에 집중하고 고도수 및 저도수 정점이 혼합된 클리크를 균형 있게 처리함으로써 이루어진다.
• 핵심 요소로는 균일한 고도수 정점 샘플링 알고리즘과 이를 통해 인cidient된 클리크를 추정하는 방법이다. 이는 오직 고도수 정점으로 구성된 클리크와 적어도 하나의 저도수 정점이 포함된 클리크 사이의 트레이드오프를 활용한다.
• 쿼리 복잡도와 실행 시간을 제어하는 오차와 런타임을 갖는 블랙박스 서브루틴을 사용하여, $C_k$와 $m$의 추정치에 기반한 신뢰도 기반 검색과 함께 이중화 전략을 재귀적으로 적용한다.
• 초기 정확도에 민감하지 않도록 하기 위해 $C_k$와 $m$의 추정치에 대해 기하학적 검색 전략을 사용하여 사전 지식 의존도를 최소화한다.
• 집중 경계와 철저히 설계된 기대 쿼리 및 실행 시간 분석을 통해 이론적 보장을 확보한다. 이는 $k$-클리크 분포의 구조와 도수 임계값의 특성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각형 수 근사($k=3$)를 위한 하위선형 시간 알고리즘을 일반 그래프에서 임의의 $k$-클리크 수 계산으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 degree, neighbor, pair 쿼리가 가능한 표준 쿼리 모델에서 $C_k$ 근사의 최적 쿼리 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 고도수 정점으로 인해 무작위 이웃 샘플링의 성공 확률이 낮을 경우, $k$-클리크 샘플링을 어떻게 효율적으로 수행할 수 있는가?
• RQ4 고도수 정점에 인cidient된 클리크 추정과 저도수 정점이 포함된 클리크 추정 사이의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ5 제안된 알고리즘의 쿼리 복잡도는 $k$-클리크 근사에 대해 점근적으로 최적인가?

주요 결과

• 알고리즘은 높은 확률로 $(1+\epsilon)$-근사값을 달성하며, 기대 쿼리 복잡도는 $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \min\left\{\frac{m^{k/2}}{C_k}, m\right\} \right) \cdot \text{poly}(\log n, 1/\epsilon, k)$이다.
• 실행 시간은 $O\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \frac{m^{k/2}}{C_k}\right) \cdot \text{poly}(\log n, 1/\epsilon, k)$이며, $C_k = \omega(m^{k/2 - 1})$일 경우 그래프 크기 대비 하위선형이다.
• 알고리즘의 쿼리 복잡도는 $\Omega\left(\frac{n}{C_k^{1/k}} + \min\left\{\frac{m^{k/2}}{C_k \cdot (c k)^k}, m\right\} \right)$의 하한선과 로그 및 다항식 인자 수준에서 일치하므로 거의 최적이다.
• 이전의 분할 기반 기법의 한계를 극복하기 위해 고도수 및 저도수 정점에 걸쳐 균형 잡힌 균일한 $k$-클리크 샘플링 전략을 도입한다.
• 알고리즘은 알려지지 않은 $C_k$와 $m$에 대해 강건하며, 기하학적 검색과 중앙값 추정을 통해 사전 지식 없이도 정확한 결과를 도출한다.
• 분석 결과, 초기 $m$과 $C_k$ 추정치가 정확하지 않더라도 이중화 및 신뢰도 기반 정밀 조정 전략 덕분에 기대 쿼리 및 실행 시간이 제시된 범위 내에 유지됨을 보여준다.