[논문 리뷰] On approximation of topological groups by finite algebraic systems

Lev Glebsky, E. I. Gordon|ArXiv.org|2002. 01. 11.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act한 위상군을 유한 대수계열, 특히 유한 준군, 준군, 좌/우 준군으로 근사하는 것을 조사한다. 비표준 해석을 사용하여, 임의의 국소적으로 컴act한 군이 유한 좌/우 준군으로 근사 가능하다는 것을 증명하고, 유한 준군으로의 근사 가능성은 단조성(유니모듈라리티)를 함의한다—다만 그 역은 여전히 열려있다. 이와 함께 이산 군은 유한 준군으로 근사 가능하며, 유한 준군으로의 근사 가능성은 유한 군으로의 근사 가능성과 동치임을 보였다.

ABSTRACT

It is known that locally compact groups approximable by finite ones are unimodular, but this condition is not sufficient, for example, the simple Lie groups are not approximable by finite ones as topological groups. In this paper the approximations of locally compact groups by more general finite algebraic systems are investigated. It is proved that the approximation of locally compact groups by finite semigroups is equivalent to approximation by finite groups and thus not all locally compact groups are approximable by finite semigroups. We prove that any locally compact group is approximable by finite left (right) quasigroups but the approximabilty of a locally compact group by finite quasigroups (latin squares) implies its unimodularity. The question if the unimodularity of a locally compact group implies its approximability by finite quasigroups is open. We prove only that the discrete groups are approximable by finite quasigroups.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴act한 위상군이 유한 군보다 더 일반적인 유한 대수계열로 근사 가능한지 조사하기.
• 특히 준군, 준군, 좌/우 준군에 초점을 맞춰 이러한 근사가 존재하는 조건을 규명하기.
• 유니모듈라리티와 유한 준군으로의 근사 가능성 간의 관계를 명확히 하기—이 조건은 알려진 바에 따르면 필수적이지만 아직 충분한지는 입증되지 않았다.
• 비표준 해석 기법을 활용하여 군의 근사 이론을 유한 군을 초월해 확장하기.

제안 방법

• 비표준 해석을 사용하여 내부 초유한 대수를 통해 국소적으로 컴act한 군의 초유한 근사를 구성한다.
• 콤팩트 집합 C와 유한 개방 덮개 U를 사용하여 (C, U)-근사를 정의함으로써 유한 대수에 의한 근사를 형식화한다.
• 전이 원리(Transfer Principle)를 적용하여 초유한 준군 내부의 이상들로 이루어진 사슬을 구성하고, 그 몫을 분석한다.
• Rees 준군 구조를 사용하여 0-단순한 유한 준군를 특성화하고, 그 최대 부분군을 통해 군과의 관계를 규명한다.
• C₀(A) 위에서의 함수부등식을 적용하여 선형 함수열의 불변성 성질을 도출하고, 이를 하르 측도의 불변성과 연결한다.
• 거의 준동형사상과 내부 근사를 활용하여, 초유한 부분준군이 특정 조건을 만족할 경우 초유한 군을 유도할 수 있음을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 국소적으로 컴act한 군은 유한 좌/우 준군으로 근사 가능한가?
• RQ2 국소적으로 컴act한 군이 유니모듈라리티를 갖는다면, 이는 유한 준군으로 근사 가능한가?
• RQ3 유한 준군으로의 근사 가능성과 유한 군으로의 근사 가능성은 동치인가?
• RQ4 근사 가능하지 않은 이산 군은 그 대수적 구조에 따라 특성화될 수 있는가?
• RQ5 비표준 해석은 근사 정리의 증명을 단순화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 국소적으로 컴act한 군은 유한 좌/우 준군으로 근사 가능하다.
• 유한 준군으로의 근사 가능성은 유니모듈라리티를 함의한다. 이는 근사 조건에서 C₀(A) 위의 좌/우 불변 함수열 존재가 유도되기 때문이다.
• 유한 준군으로의 근사 가능성은 유한 군으로의 근사 가능성과 동치이며, 따라서 이러한 군들은 반드시 유니모듈라리티를 가져야 한다.
• 모든 이산 군은 유한 준군으로 근사 가능하며, 이는 국소적으로 잔여 유한한 군의 범주를 초월하는 근사 가능한 군의 범주를 확장한다.
• 군의 근사에서 초유한 준군의 초유한 몫은 부분준군이 0-단순하고 0이 아닌 경우 Rees 준군의 구조를 통해 초유한 군이 된다.
• 열린 질문은 유니모듈라리티만으로도 국소적으로 컴팩트한 군이 유한 준군으로 근사 가능한가 여부이다.