[논문 리뷰] On arbitrarily slow convergence rates for strong numerical approximations of Cox-Ingersoll-Ross processes and squared Bessel processes

Mario Hefter, Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 코크스-인거솔-로스(Cox-Ingersoll-Ross, CIR) 과정과 제곱 레이저 과정의 등간격 브라운 운동 이산화를 이용한 강한 수치적 근사가 임의로 느린 속도로 강한 의미에서 수렴한다는 것을 입증한다. 핵심 결과는 수렴 속도가 $ N^{-2a/\rho^2} $ 에 의해 상한이 둔다는 것으로, $ 0 < 2a < \rho^2 $ 이다. 이는 금융 분야에서 일반적으로 사용되는 표준 방법이 임의로 느린 수렴 속도를 보일 수 있음을 보여주며, 효율적인 계산을 위해 기존의 등간격 스킴을 피하는 새로운 방법이 필요하다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

Cox-Ingersoll-Ross (CIR) processes are extensively used in state-of-the-art models for the approximative pricing of financial derivatives. In particular, CIR processes are day after day employed to model instantaneous variances (squared volatilities) of foreign exchange rates and stock prices in Heston-type models and they are also intensively used to model short-rate interest rates. The prices of the financial derivatives in the above mentioned models are very often approximately computed by means of explicit or implicit Euler- or Milstein-type discretization methods based on equidistant evaluations of the driving noise processes. In this article we study the strong convergence speeds of all such discretization methods. More specifically, the main result of this article reveals that each such discretization method achieves at most a strong convergence order of $δ/2$, where $0

연구 동기 및 목표

• 금융 모델링에서 사용되는 CIR 과정에 대한 표준 수치적 방법의 강한 수렴 행동을 조사하는 것.
• CIR 과정과 제곱 레이저 과정에 대해 등간격 브라운 운동 이산화 방법이 실질적으로 합리적인 수렴 속도를 달성할 수 있는지 판단하는 것.
• 이러한 방법이 모든 모멘트가 유계이더라도 여전히 임의로 느린 수렴 속도를 보일 수 있음을 보여주는 것.
• 비리프시츠 조건을 갖는 확률 미분 방정식의 맥락에서 현재 수치적 방법의 근본적 한계를 규명하는 것.
• 등간격 브라운 운동 샘플링을 피하는 더 정교한 근사 방법의 개발을 촉진하는 것.

제안 방법

• 저자들은 시간에 따라 변형된 브라운 운동 프레임워크를 사용하여 정밀하게 설계된 정지 시간을 활용해 CIR 과정과 제곱 레이저 과정의 가족을 구성한다.
• 등간격 브라운 운동 평가에 기반한 어떤 이산화 방식과 진짜 과정 사이의 강한 $ L^1 $-거리에 대한 하한을 유도한다.
• 제곱 레이저 과정의 비교 원리, 모멘트 유계, 스케일링 성질을 활용하여 CIR 과정을 차원 $ \rho $ 의 제곱 레이저 과정과 연결한다.
• 핵심 기술적 단계로는 특정 조건부 분포를 갖는 랜덤 시간과 브라운 운동을 구성하여 도달 시간 확률을 제어하는 것.
• 원래 CIR 과정을 [0,1]에서 정규화된 제곱 레이저 과정으로 변환하는 변환을 통해 기존의 하한 결과를 적용할 수 있도록 한다.
• 최종 결과는 변환된 과정과 정규화된 설정에서 알려진 $ L^1 $-거리에 대한 하한을 조합하여 유도되며, 이는 수렴 속도에 대한 보편적인 하한을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등간격 브라운 운동 평가를 사용할 때 CIR 과정에 대한 표준 강한 수치적 방법이 $ N^{-2a/\rho^2} $ 보다 더 빠른 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 모든 모멘트가 유계 조건이 유지되더라도 이러한 방법의 강한 수렴 속도가 임의로 느릴 수 있는가?
• RQ3 CIR 과정에 대해 구동 브라운 운동을 등간격으로 샘플링하는 모든 이산화 방법의 수렴 속도에 대한 근본적 한계는 무엇인가?
• RQ4 관련된 제곱 레이저 과정의 차원 파라미터 $ \delta $ 는 CIR 과정의 강한 근사 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 CIR 과정의 구조 자체에 의해 표준 등간격 스킴을 통한 효율적 강한 근사가 불가능한 내재적 장벽이 존재하는가?

주요 결과

• CIR 과정에 대해 등간격 브라운 운동 평가를 사용하는 어떤 수치적 방법의 강한 수렴 속도는 $ N^{-2a/\rho^2} $ 이하이다. 여기서 $ 2a < \rho^2 $ 이다.
• 매개수 $ T, a, \sigma, b, x $ 를 갖는 CIR 과정에 대해, 기대 $ L^1 $-오차는 어떤 방법이든 독립적인 $ c > 0 $ 에 대해 $ c \cdot N^{-2a/\rho^2} $ 이하로 유계이다.
• 모든 해의 모멘트가 유계이더라도 $ 2a \to 0 $ 일 때 수렴 속도는 임의로 느려질 수 있다.
• 이 결과는 등간격 브라운 운동 평가를 유일하게 사용하는 모든 방법에 적용되며, 명시적/암시적 오일러 및 밀스타인 유형의 방법을 포함한다.
• 이 하한은 정확하며, 차원 $ \delta = 4a/\rho^2 \in (0,2) $ 인 정규화된 제곱 레이저 과정으로의 변환을 통해 유도된다.
• 이는 헤스톤 및 단기 금리 모델에서 파생상품 가격 결정에 사용되는 현재 산업 표준 방법이 실질적으로 수용할 수 없는 느린 수렴 속도를 보일 수 있음을 시사한다.