[논문 리뷰] On arc-disjoint Hamiltonian cycles in De Bruijn graphs

Zoltán Kása|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 07.

Coding theory and cryptography참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ q/\geq 2 $, $ k > 1 $ 인 De Bruijn 그래프 $ B(q,k) $ 에서 $ q-1 $ 개의 간선-소속 해밀턴 사이클의 존재를 조사한다. $ \tau $-shift를 이용한 형태사상 기반의 구성법을 제안하여 단일 De Bruijn 단어에서 $ q-1 $ 개의 사이클을 생성하며, 핵심 결과로는 해당 사이클들이 단어와 그 형태사상 $ \mu $ 를 $ q-1 $ 번 반복 적용한 이미지들이 서로 다른 $ q-1 $ 개의 사이클로 구성된 동치류를 이룰 경우 간선-소속임을 보여준다.

ABSTRACT

We give two equivalent formulations of a conjecture [2,4] on the number of arc-disjoint Hamiltonian cycles in De Bruijn graphs.

연구 동기 및 목표

• De Bruijn 그래프 $ B(q,k) $ 에서 간선-소속 해밀턴 사이클의 최대 개수에 대한 오랜 동안 미해결이었던 추측을 해결하기 위해.
• De Bruijn 단어에 대한 형태사상 $ \mu $ 를 이용하여 $ q-1 $ 개의 간선-소속 해밀턴 사이클을 구성적으로 생성하는 방법을 확립하기 위해.
• 단일 De Bruijn 단어와 그 $ \mu $-변환 결과가 $ q > 2 $, $ k > 1 $ 인 경우 간선-소속임을 증명하기 위해.
• 이러한 사이클의 수가 이론적 상한값 $ q-1 $ 과 일치함을 보여주어 특정 케이스에서 추측을 확인하기 위해.
• 형태사상 $ \mu $ 에서 De Bruijn 단어의 동치류를 기반으로 추측을 동치 형태로 재구성하기 위해.

제안 방법

• 정점 집합 $ \mathcal{A}^k $, 간선 집합 $ \mathcal{A}^{k+1} $ 를 가지며, 겹치는 부분문자열에 기반한 인접성으로 정의되는 De Bruijn 그래프 $ B(q,k) $ 를 정의한다.
• 알파벳 $ \{0,1,\dots,q-1\} $ 에 대한 형태사상 $ \mu $ 를 정의하며, $ \mu(0) = 0 $, $ 1 \leq i < q-1 $ 에 대해 $ \mu(i) = i+1 $, $ \mu(q-1) = 1 $ 이며, 임의의 단어 $ u $ 에 대해 $ \mu^{q-1}(u) = u $ 를 만족한다.
• 단일 De Bruijn 단어 $ B_0 $ 에 대해 $ k = 1 $ 에서 $ q-2 $ 까지 $ \mu^k $ 를 적용하여 $ q-1 $ 개의 해밀턴 사이클 $ H_0, H_1, \dots, H_{q-2} $ 를 생성한다.
• 해당 단어들 $ B_k = \mu^k(B_0) $ 가 서로 다르고, 그 간선 집합이 서로 겹치지 않음을 보여, 사이클 $ H_0, H_1, \dots, H_{q-2} $ 가 간선-소속임을 증명한다.
• $ \mu $ 가 유도하는 동치 관계가 De Bruijn 단어 집합을 크기 $ q-1 $ 의 동치류로 분할하며, 이러한 동치류가 $ q-1 $ 개의 간선-소속 사이클을 포함하면 추측이 성립함을 확립한다.
• $ B(3,2) $, $ B(3,3) $, $ B(4,2) $, $ B(5,2) $ 와 같은 구체적 예시를 검증하여, $ q-1 $ 개의 간선-소속 사이클을 명시적으로 나열하고 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 De Bruijn 그래프 $ B(q,k) $ 가 $ q \geq 2 $, $ k > 1 $ 를 만족할 때 정확히 $ q-1 $ 개의 간선-소속 해밀턴 사이클을 포함하는가?
• RQ2 반복된 형태사상 $ \mu $ 의 적용을 통해 단일 De Bruijn 단어로부터 $ q-1 $ 개의 간선-소속 해밀턴 사이클을 생성할 수 있는가?
• RQ3 형태사상 $ \mu $ 를 통해 $ k = 1, \dots, q-2 $ 에 대해 $ \mu^k(B_0) $ 의 이미지가 $ q-1 $ 개의 서로 다른 해밀턴 사이클을 생성하며, 이들이 상호 간선-소속인 De Bruijn 단어 $ B_0 $ 가 존재하는가?
• RQ4 형태사상 $ \mu $, De Bruijn 단어의 동치류, 간선-소속 해밀턴 사이클의 구조 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 De Bruijn 단어 위에서 $ \mu $ 의 작용에 따른 궤도 구조를 기반으로 해밀턴 사이클의 수에 대한 추측을 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• $ B(3,2) $ 에서 사이클 $ H_0 = 0011220210 $ 과 $ H_1 = 0022110120 $ 는 간선-소속이며, $ q-1 = 2 $ 개의 사이클이 존재함을 확인한다.
• $ B(3,3) $ 에서 사이클 $ H_0 = 00010021011022202012111221200 $ 과 $ H_1 = 00020012022011101021222112100 $ 는 간선-소속이며, $ q=3 $, $ k=3 $ 인 경우 추측을 지지한다.
• $ B(4,2) $ 에서 $ B_0 = 00102113230331220 $ 에서 $ \mu $, $ \mu^2 $ 를 적용하여 유도된 세 사이클 $ H_0, H_1, H_2 $ 는 간선-소속이며, $ q-1 = 3 $ 개의 사이클을 검증한다.
• $ B(5,2) $ 에서 $ B_0 = 00102112041422430332313440 $ 에서 $ \mu $, $ \mu^2 $, $ \mu^3 $ 를 적용하여 유도된 네 사이클 $ H_0, H_1, H_2, H_3 $ 는 간선-소속이며, $ q-1 = 4 $ 개의 사이클을 확인한다.
• 형태사상 $ \mu $ 는 $ \mu^{q-1}(u) = u $ 를 만족하여, 임의의 단어의 궤도 크기가 $ q-1 $ 의 약수임을 보장하며, 이 구성법은 이러한 궤도가 크기 $ q-1 $ 의 전체 순환을 형성함에 기반한다.
• 추측은 De Bruijn 단어 $ B_0 $ 가 존재하여 $ k=0,1,\dots,q-2 $ 에 대해 $ q-1 $ 개의 단어 $ \mu^k(B_0) $ 가 모두 서로 다를 때, 이들이 $ B(q,k) $ 에서 간선-소속 해밀턴 사이클을 생성함과 동치임을 보여준다.