[논문 리뷰] On automorphic L-functions in positive characteristic

Luis Lomelí|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 07.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 전역 함수체 위에서 랭랜즈-샤히디 방법을 사용하여 양의 특성에서 아사이, 외적 제곱, 대칭 제곱 L-함수의 존재성을 확립하며, γ-인자와 루트 수를 포함한다. 이는 스플릿 클래식 및 쿼asi-스플릿 유니타리 군의 시겔 리 대칭군에 대한 자동형 L-함수의 유리성과 함수방정식을 증명하며, 헨니아르의 유일성 결과를 통해 GL_n에 대한 국지 랭랜즈 추측과의 일관성을 확인한다.

ABSTRACT

We give a proof of the existence of Asai, exterior square, and symmetric square local $L$-functions, $γ$-factors and root numbers in characteristic $p$, including the case of $p = 2$. Our study is made possible by developing the Langlands-Shahidi method over a global function field in the case of a Siegel Levi subgroup of a split classical group or a quasi-split unitary group. The resulting automorphic $L$-functions are shown to satisfy a rationality property and a functional equation. A uniqueness result of the author and G. Henniart allows us to show that the definitions provided in this article are in accordance with the local Langlands conjecture for ${ m GL}_n$. Furthermore, in order to be self contained, we include a treatise of $L$-functions arising from maximal Levi subgroups of general linear groups.

연구 동기 및 목표

• 스플릿 클래식 및 쿼اسي-스플릿 유니타리 군의 시겔 리 대칭군에 대한 자동형 L-함수 이론을 양의 특성에서 완성하는 것.
• 아사이, 외적 제곱, 대칭 제곱 국지 L-함수의 존재성과 그에 수반된 γ-인자와 루트 수의 확립, 특히 p=2의 경우 포함.
• 구축된 L-함수가 유리성과 함수방정식을 만족함을 검증하여 전역 및 국지 랭랜즈 추측과의 일치를 확인하는 것.
• 기초 도구로 일반 선형군의 최대 리 대칭군에서의 L-함수를 자가-contained하게 다루는 것.
• 랭랜즈-샤히디 방법을 스플릿 클래식 및 유니타리 군에 대해 양의 특성 환경으로 체계적으로 확장하여 국지 인자의 곱성 성질을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 스플릿 클래식 군과 쿼اسي-스플릿 유니타리 군의 시겔 리 대칭군에 대해 전역 함수체 위에서 랭랜즈-샤히디 방법을 적용한다.
• 상호연결 연산자와 윌커 모델을 사용하여 국지 계수를 정의하고, 이를 바탕으로 γ-인자와 L-함수를 구성한다.
• 유니타리 포물선 유도와 γ-인자의 곱성 성질을 활용하여 온도 표현에서 일반 표현으로 결과를 확장한다.
• 고데문트-자키 L-함수와 랭킨-셀버그 곱을 이론의 기초 구성요소로 사용한다.
• 롬엘리와 헨니아르의 유일성 결과를 적용하여 GL_n에 대한 국지 랭랜즈 대응과의 호환성을 확보한다.
• 모든 자리에서 국지 인자를 조합하여 전역 함수방정식을 유도하며, L-함수의 q^{-s}에 대한 유리성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아사이, 외적 제곱, 대칭 제곱 L-함수는 양의 특성에서 존재하는가, 특히 p=2의 경우 포함하여?
• RQ2 이들 L-함수는 전역 함수체 환경에서 유리성과 함수방정식을 만족하는가?
• RQ3 구축된 국지 인자는 양의 특성에서 GL_n에 대한 국지 랭랜즈 추측과 일치하는가?
• RQ4 랭랜즈-샤히디 방법은 전역 함수체 위에서 스플릿 클래식 및 유니타리 군의 시겔 리 대칭군으로 체계적으로 확장 가능한가?
• RQ5 이 맥락에서 국소 구성에서 곱성과 전역 함수방정식은 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 자동형 L-함수 L(s,π,r_i)가 q^{-s}에 대한 유리함수로 표현됨을 보여, '좋은' L-함수에 요구되는 유리성 성질을 확립한다.
• 전역 함수방정식 L(s,π,r_i) = ε(s,π,r_i)L(1-s,π̃,r_i)이 성립하며, ε-인자는 덧셈 문자 ψ에 독립적이다.
• 구축된 γ-인자와 L-함수들은 유일하게 특징지어지며, 롬엘리와 헨니아르의 유일성 결과를 통해 GL_n에 대한 국지 랭랜즈 대응과 호환된다.
• 아사이 γ-인자를 정의하고 전역 함수방정식을 만족함을 증명하여 이 이론을 양의 특성으로 확장한다.
• 이론은 완전히 자가-contained이며, GL_n의 최대 리 대칭군에서의 L-함수와 고데문트-자키 인자에 대한 기본적 다루기가 포함되어 있다.
• 온도 유도와 비가역 스위치를 통해 L-함수와 ε-인자의 곱성 성질을 확립하여, 온도 표현에서 일반 표현으로의 일반화를 가능하게 한다.