[논문 리뷰] On average sizes of Selmer groups and ranks in families of elliptic curves having marked points

Manjul Bhargava, Wei Ho|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 07.

Analytic Number Theory Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유리수 점이 표시된 타원곡선 가족에서 2- 및 3-Selmer 군의 평균 크기에 대한 균일한 상계를 확립하며, 이는 순서 2 또는 3인 표시된 점을 가진 경우를 포함한다. 또한 이러한 상계가 최소 곡선이나 합동 조건으로 정의된 큰 부분가족으로 제한할 경우에도 성립함을 증명한다. 주요 결과는 이러한 곡선의 평균 랭크가 유계임을 확인하여 Poonen–Rains 히ュ리스틱스를 지지하며, 이전의 타원곡선 평균 랭크 연구를 확장한다.

ABSTRACT

We determine average sizes/bounds for the $2$- and $3$-Selmer groups in various families of elliptic curves with marked points, thus confirming several cases of the Poonen--Rains heuristics. As a consequence, we deduce that the average ranks of the elliptic curves in all of these families are bounded. Our proofs are uniform and make use of parametrizations involving various forms of $2 imes 2 imes 2 imes 2$ and $3 imes 3 imes 3$ matrices that we studied in a previous paper. We also deduce that $100\%$ of genus one curves of the form $y^2 = Ax^4 + Bx^2 z^2 + Cz^4$ with $A, B, C \in \mathbb{Z}$, when ordered by $\max\{|B|^2,|AC|\}$, fail the Hasse principle. Other forthcoming applications include proofs that a positive proportion of integers are (respectively, are not) the sum of two rational cubes, and a positive proportion of genus one curves in $\mathbb{P}^1 imes \mathbb{P}^1$ over $\mathbb{Q}$ fail the Hasse principle.

연구 동기 및 목표

• 표시된 유리수 점(순서 2 또는 3인 경우 포함)을 가진 타원곡선 가족에서 Selmer 군의 평균 크기를 결정하는 것.
• 높이에 따라 순서된 최소 곡선이나 합동 조건으로 정의된 큰 부분가족으로 제한할 경우에도 이러한 평균 크기가 여전히 유계임을 확립하는 것.
• 이러한 곡선의 평균 랭크가 유계임을 확인하여 표시된 구조를 가진 가족에 대한 Poonen–Rains 히ュ리스틱스를 지지하는 것.
• 전체 타원곡선 가족을 초월하여 유리수 토르션 또는 표시된 점을 가진 구조적 부분가족으로의 평균 랭크 및 Selmer 군 크기 이해를 확장하는 것.

제안 방법

• 저자들은 각 가족 $F_0$, $F_1$, $F_1(2)$, $F_1(3)$, $F_2$에 대해 높이 함수를 정의하여 곡선의 크기 순서로 정렬한다.
• 각 가족에서 높이가 유계인 곡선의 수를 추정하기 위해 $\mathbb{R}^{n_j}$ 내의 격자점 수를 세는 기법을 사용한다.
• 유한한 소수를 제외한 모든 소수 $p$에 대해 $p^2 \nmid \Delta_{\text{red}}(E)$를 만족하는 곡선을 포함하는 가족을 '큰' 부분가족으로 정의하여 밀도 유지 보장을 한다.
• Weil 추정과 모듈로 감소 기법을 적용하여, 특히 $F_2$에서 표시된 점이 소수 $p$ 모듈로에서 종속일 확률을 추정함으로써 독립성이 일반적임을 보인다.
• p-Selmer 군의 p-랭크가 대수적 랭크를 상계함을 이용하여 평균 랭크에 대한 상계를 유도한다.
• 중국인의 나머지 정리(Chinese remainder theorem)를 적용하여 큰 소수 집합에서의 국소 밀도를 결합하여, 표시된 점의 종속성이 渐近적으로 드문 일어남을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높이에 따라 순서된 $\mathbb{Q}$ 위의 모든 타원곡선의 가족 $F_0$에서 2-Selmer 군의 평균 크기는 얼마인가요?
• RQ2 표시된 유리수 점이 있는 가족, 예를 들어 $F_1$, $F_1(2)$, $F_1(3)$, $F_2$에서 2- 및 3-Selmer 군의 평균 크기는 어떻게 변화합니까?
• RQ3 높이에 따라 순서된 최소 곡선이나 합동 조건으로 정의된 큰 부분가족으로 제한할 경우 평균 Selmer 군 크기는 유지됩니까?
• RQ4 이 가족들에서 평균 랭크의 limsup는 무엇이며, 유계입니까?
• RQ5 $F_2$의 곡선 중 양의 비율을 차지하는 곡선들에서 두 개의 표시된 점은 Mordell-Weil 군에서 독립입니까?

주요 결과

• 가족 $F_0$에서 2-Selmer 군의 평균 크기는 정확히 3이며, 3-Selmer 군의 평균 크기는 정확히 4이다.
• 가족 $F_1$에서 2-Selmer 군의 평균 크기는 최대 6이며, 3-Selmer 군의 평균 크기는 정확히 12이다.
• 가족 $F_1(2)$에서 3-Selmer 군의 평균 크기는 정확히 4이며, 가족 $F_1(3)$에서 2-Selmer 군의 평균 크기는 최대 3이다.
• 가족 $F_2$에서 2-Selmer 군의 평균 크기는 최대 12이며, 이는 이 가족에서 평균 랭크가 유계임을 확인한다.
• $F_0$, $F_1$, $F_1(2)$, $F_1(3)$, $F_2$에서 평균 랭크의 limsup는 각각 $7/6$, $13/6$, $7/6$, $3/2$, $7/2$ 이하이다.
• 각 가족에서 점점 더 많은 곡선들이 자명한 유리수 토르션을 가지며, $F_1$ 및 $F_2$의 표시된 점들은 확률 1로 독립적이다.