[논문 리뷰] On axiomatic formulation of gravity and matter field theories with MDRs and Finsler-Lagrange-Hamilton geometry on (co)tangent Lorentz bundles

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 16.

Advanced Differential Geometry Research인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 (co)탄성 루크레우츠 배럴 위에서 페인슬러-라그랑주-해밀턴 기하학을 사용하여 수정 중력 및 물질장 이론의 공리적 기하 프레임워크를 제시한다. 수정된 분산 관계(MDR)를 포함하여 로렌츠 불변성 위반과 국소적 이방성의 모델링을 가능하게 하며, 캐논칼 약한 심플렉틱 형식과 적응된 접속을 통해 일반화된 아인슈타인 방정식의 자기 일관성 있는 제작을 이루며, 질량이 있는 중력파수, 이중미터적 구조, 단거리 중력까지 포함한다. 이는 상대성 이론적 위상공간 기하학 내에서 다양한 양자 및 고전 중력 모델을 통합한다.

ABSTRACT

We develop an axiomatic geometric approach and provide an unconventional review of modified gravity theories, MGTs, with modified dispersion relations, MDRs, encoding Lorentz invariance violations, LIVs, classical and quantum random effects, anisotropies etc. There are studied Lorentz-Finsler like theories elaborated as extensions of general relativity, GR, and quantum gravity, QG, models and constructed on (co) tangent Lorentz bundles, i.e. (curved) phase spaces or locally anisotropic spacetimes. An indicator of MDRs is considered as a functional on various type functions depending on phase space coordinates and physical constants. It determines respective generating functions and fundamental physical objects (generalized metrics, connections and nonholonomic frame structures) for relativistic models of Finsler, Lagrange and/or Hamilton spaces. We show that there are canonical almost symplectic differential forms and adapted (non) linear connections which allow us to formulate equivalent almost K\\"{a}hler-Lagrange / - Hamilton geometries. This way, it is possible to unify geometrically various classes of (non) commutative MGTs with locally anisotropic gravitational, scalar, non-Abelian gauge field, and Higgs interactions. We elaborate on theories with Lagrangian densities containing massive graviton terms and bi-connection and bi-metric modifications which can be modelled as Finsler-Lagrange-Hamilton geometries. An appendix contains historical remarks on elaborating Finsler MGTs and a summary of author's results in twenty directions of research on (non) commutative/ supersymmetric Finsler geometry and gravity; nonholonomic geometric flows, locally anisotropic superstrings and cosmology, etc.

연구 동기 및 목표

• 수정된 분산 관계(MDR)를 포함한 수정 중력 및 물질장 이론의 기하학적 통합적, 공리적 제작을 개발하는 것.
• 일반 상대성 이론과 양자 중력 모델을 (co)탄성 루크레우츠 배럴 위의 페인슬러 유사 공간으로 확장하여 국소적 이방성, 로렌츠 불변성 위반(LIV), 무작위 효과의 기술을 가능하게 하는 것.
• 적응된(비)선형 접속, d-메트릭, 거의 칼라 기하학을 사용하여 일반화된 아인슈타인-페인슬러, -라그랑주, -해밀턴 중력 이론을 구축하는 것.
• 비가환, 초대칭, 국소적으로 이방성인 중력 모델을 하나의 기하학적 형식으로 통합하고 일관된 장 방정식을 제공하는 것.
• 질량이 있는 중력파수, 이중미터적 구조, 단거리 중력을 포함한 인과적이고 자기 일관성 있는 MGT 프레임워크를 제공하여 현상학적 및 실험적 검증을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 위상공간 좌표 상의 기능적으로 MDR를 제시하여 메트릭, 접속, 비선형 구조와 같은 페인슬러 유사 기본 대상들을 생성하는 것.
• (co)탄성 배럴 위에 캐논칼 약한 심플렉틱 형식과 적응된(비)선형 접속을 도입하여 거의 칼라-라그랑주/해밀턴 기하학을 정의하는 것.
• 비완전한 (co)탄성 배럴 위에서 N-적응 변형과 일반화된 아인슈타인 텐서 제작 방식을 사용하여 d-접속, 곡률, 리치 텐서를 유도하는 것.
• 일반 공변성과 함께 일반화된 등가 원리 및 맥스 원리를 적용하여, MDR를 포함한 페인슬러-라그랑주-해밀턴 중력으로 일반 상대성 이론을 확장하는 것.
• d-메트릭과 d-접속 구조를 사용하여 위상공간 위에서 아인슈타인-양-밀스-하이즈 시스템, 질량이 있는 중력파수, 이중미터 모델의 라그랑지안 밀도를 구성하는 것.
• 비완전한 위상공간 위에서 변분 원리를 적용하여 수정된 장 방정식을 도출하며, 비완전한 보존 법칙과 효과적 소스 항을 포함하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수정된 분산 관계(MDR)는 어떻게 위상공간 상의 중력 및 물질장 이론의 기하학적 프레임워크에 체계적으로 통합될 수 있는가?
• RQ2 페인슬러-라그랑주-해밀턴 기하학은 국소적으로 이방성, 비가환, 질량이 있는 중력 모델을 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 적응된 접속과 거의 칼라 기하학을 사용하여 (co)탄성 루크레우츠 배럴 위에서 수정 중력 이론의 자기 일관성 있는 공리적 제작이 가능할 수 있는가?
• RQ4 MDR와 비선형 접속은 국소적으로 이방성 시공간에서 아인슈타인 방정식과 보존 법칙의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 이러한 기하학적 확장은 단거리 중력, 질량이 있는 중력파수, 이중미터 모델에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 논문은 MDR를 사용하여 (co)탄성 루크레우츠 배럴 위에서 수정 중력 및 물질장 이론의 자기 일관성 있는 공리적 제작을 수립하였으며, 다양한 양자 및 고전 중력 모델의 기하학적 통합을 가능하게 하였다.
• 캐논칼 약한 심플렉틱 형식과 적응된(비)선형 접속을 통해 동치의 거의 칼라-라그랑주/해밀턴 기하학을 구성할 수 있음을 입증하였으며, 이는 MGT에 대한 일관된 기하학적 기초를 제공한다.
• 페인슬러-라그랑주-해밀턴 중력의 일반화된 아인슈타인 방정식을 도출하였으며, 질량이 있는 중력파수, 이중미터적 구조, 단거리 상호작용의 경우를 포함한 모든 경우를 d-접속과 d-텐서를 통해 제작하였다.
• 일반적인 비완전한 구성이 가능한 비대칭성 구조를 지원하며, 단순한 N-접속이 없는 구조에서 구면 대칭성이 비완전한 비선형 구조 없이 국소적으로 이방성 페인슬러 중력의 전체 기술을 완전히 기술할 수 없음을 보여주었다.
• 이전의 페인슬러 중력 연구에서의 주요 제한점—정확한 해의 부재와 접속 유형에 대한 의존성—을 규명하였으며, 제안된 d-접속 및 d-메트릭 형식을 통해 일관된 해에 도달할 수 있는 길을 제시하였다.
• 기존의 특이성 정리와 페인슬러 시공간에서의 레이차우디-유사 일반화가 비선형 및 특수 접속의 선택에 매우 민감함을 규명하였으며, 제안된 일관된 기하학적 프레임워크의 필요성을 강조하였다.