[논문 리뷰] On Az\'ema-Yor processes, their optimal properties and the Bachelier-drawdown equation

Carraro, Laurent, Nicole El Karoui외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 02. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 25인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 Azéma-Yor 과정, Bachelier-드로다운 방정식, 그리고 최적의 마틴갈 representation 간의 깊은 연결을 확립한다. 이는 과거 최대값의 함수 위에 머물러야 하는 드로다운 제약 조건을 만족하는 모든 과정이 유일하게 Azéma-Yor 과정임을 증명하며, Bachelier SDE의 해들이 정확히 이러한 드로다운 제약 조건을 만족하는 과정임을 보여준다. 핵심 기여는 최대값이 주어진 기준 분포를 확률적으로 지배하는 마틴갈 중에서 볼록 순서에 대해 최적임을 보이는 Azéma-Yor 마틴갈의 특성화이다. 이는 스코로호드 매장 문제의 해와 포트폴리오 보험 최적화 문제를 통합적으로 설명한다.

ABSTRACT

We study the class of Az\'ema-Yor processes defined from a general semimartingale with a continuous running maximum process. We show that they arise as unique strong solutions of the Bachelier stochastic differential equation which we prove is equivalent to the drawdown equation. Solutions of the latter have the drawdown property: they always stay above a given function of their past maximum. We then show that any process which satisfies the drawdown property is in fact an Az\'ema-Yor process. The proofs exploit group structure of the set of Az\'ema-Yor processes, indexed by functions, which we introduce. We investigate in detail Az\'ema-Yor martingales defined from a nonnegative local martingale converging to zero at infinity. We establish relations between average value at risk, drawdown function, Hardy-Littlewood transform and its inverse. In particular, we construct Az\'ema-Yor martingales with a given terminal law and this allows us to rediscover the Az\'ema-Yor solution to the Skorokhod embedding problem. Finally, we characterize Az\'ema-Yor martingales showing they are optimal relative to the concave ordering of terminal variables among martingales whose maximum dominates stochastically a given benchmark.

연구 동기 및 목표

• 드로다운 제약 조건을 만족하는 과정, 즉 과거 최대값의 함수 위에 머물러야 하는 과정의 클래스를 특성화하기 위해.
• Bachelier 확률미분방정식과 드로다운 방정식 간의 동치성을 확립하여, 그 해들이 정확히 Azéma-Yor 과정임을 보여주기 위해.
• 최대값이 주어진 기준 분포를 확률적으로 지배하는 일관된 적분 가능한 마틴갈 중에서 볼록 순서에 대해 최적임을 보이는 Azéma-Yor 마틴갈의 특성화를 위해.
• 최종 분포를 통한 구성 방법을 통해 Azéma-Yor 해법이 스코로호드 매장 문제에 대해 새로운 통합적 해석을 제공하기 위해.
• 이론을 포트폴리오 보험에 적용하여, 제약 조건이 있는 포트폴리오 최적화에서 Azéma-Yor 마틴갈이 경로 기반 제약 조건에 대해 최적임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 증가하고 절대 연속적인 함수 U로 인덱싱된 Azéma-Yor 과정의 집합에 군 구조를 도입하여 그 성질을 체계적으로 분석하기 위해.
• 연속적인 누적 최대값을 갖는 임의의 세미마르팅게일이 Bachelier-드로다운 SDE를 만족함을 보여, 그것이 Azéma-Yor 과정임을 증명하기 위해.
• Bachelier SDE와 드로다운 방정식 간의 동치성을 확립하며, 해들이 Y_t ≥ w(Y^*_t)를 만족해야 한다는 조건을 포함하기 위해.
• Hardy-Littlewood 변환과 그 역을 사용하여 평균가치위험(AVaR)을 과정의 최종 분포와 연결하기 위해.
• 적절한 함수 U를 풀어 주어진 최종 분포를 갖는 Azéma-Yor 마틴갈을 구성함으로써, 스코로호드 매장 문제에 대한 Azéma-Yor 해법을 복원하기 위해.
• 확률적 순서 이론을 적용하여 Azéma-Yor 마틴갈이 최대값이 동일한 기준 분포를 확률적으로 지배하는 모든 일관된 적분 가능한 마틴갈 중에서 최종 값의 볼록 순서에서 지배됨을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bachelier 확률미분방정식과 드로다운 제약 조건 사이의 정확한 수학적 관계는 무엇인가?
• RQ2 모든 드로다운 성질을 만족하는 과정은 Azéma-Yor 과정으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 주어진 최종 분포를 갖는 Azéma-Yor 마틴갈은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 최대값이 주어진 기준 분포를 확률적으로 지배하는 모든 일관된 적분 가능한 마틴갈 중에서 볼록 순서에 대해 최적인 마틴갈은 무엇인가?
• RQ5 Azéma-Yor 과정 이론은 스코로호드 매장 문제의 해법과 포트폴리오 보험 문제의 해법을 어떻게 통합하는가?

주요 결과

• Bachelier SDE는 드로다운 방정식과 동치이며, 그 유일한 강해는 정확히 Azéma-Yor 과정이다.
• 주어진 함수 w에 대해 Y_t ≥ w(Y^*_t)를 만족하는 모든 과정은 반드시 어떤 음이 아닌 세미마르팅게일 X에 대해 MU(X) 형태의 Azéma-Yor 과정이어야 한다.
• 최종 분포 ν를 갖는 Azéma-Yor 마틴갈은 최대값이 주어진 기준 분포를 확률적으로 지배하는 모든 일관된 적분 가능한 마틴갈 중에서 볼록 순서에 대해 최적이다.
• 주어진 최종 분포 ν를 갖는 Azéma-Yor 마틴갈의 구성은 최종 값이 ν 분포를 갖도록 하는 함수 U를 푸는 것으로 이루어지며, 이는 스코로호드 매장 문제에 대한 Azéma-Yor 해법을 복원한다.
• 볼록 순서 문제에 대한 최적 마틴갈과 최대값을 최대화하는 확률적 지배 문제에 대한 최적 마틴갈은 동일하며, 둘 다 Azéma-Yor 마틴갈이다.
• 바닥 과정 Ft = g(Nt)에 대해, Azéma-Yor 마틴갈 MU(N)은 Ft를 경로적으로 지배하는 모든 일관된 적분 가능한 마틴갈 중에서 볼록 순서에 대해 최적이며, 이 최적성은 Ft에 대해 분포적으로 지배하는 더 큰 마틴갈의 클래스로 제한된 경우에도 유지된다.