[논문 리뷰] On Banach spaces without the approximation property

O. I. Reinov|ArXiv.org|2002. 03. 15.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 근사성질이 없는 바나흐 공간을 구성하지만, 유한차원 부분공간이 잘 보완되어 있는 바나흐 공간을 제시한다. 특히, $ n $차원 부분공간은 환경 공간 내에서 $ C_{ε} \log^{1+\varepsilon} n $-보완되어 있다. 이 구성은 수식적으로 정교화된 색앙코프스키의 방법을 사용하며, $ \ell^2 $-공간들의 혼합노름 $ \ell^2 $-합에 부분공간 $ X_\varepsilon $를 매립한다. 이때 $ p_n $-노름은 타입 2와 코타입 2를 확보하도록 선택되며, 보완성은 연산자 이상의 노름과 사영자의 기하학적 추정을 통해 통제된다.

ABSTRACT

A. Szankowski's example is used to construct a Banach space similar to that of "An example of an asymptotically Hilbertian space which fails the approximation property", P.G. Casazza, C.L. Garc\'ıa, W.B. Johnson [math.FA/0006134 ([e-mail])].

연구 동기 및 목표

• 타입 2와 코타입 2를 갖는 모든 바나흐 공간의 모든 부분공간이 반드시 근사성질을 가져야 하는가를 묻는 것.
• 근사성질이 없는 바나흐 공간 내에서 유한차원 부분공간이 얼마나 잘 보완되어 있을 수 있는지 조사하는 것.
• 근사성질이 없지만 타입 2와 코타입 2를 갖는 공간을 구성하고, 이 공간의 부분공간이 $ C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $-보완되어 있음을 보장하는 것.
• 근사가 불가능한 공간 내에서 보완성 경계의 정밀도를 탐구하며, 특히 $ C \log n $-보완성이 가능한지 여부를 묻는 것.

제안 방법

• 구성은 색앙코프스키의 방법을 바탕으로 하며, 집합 $ I_n = \{2^n+1, \dots, 2^{n+1}\} $ 과 $ c_0 $ 내의 벡터 $ z_i $ 및 관련 함수형 $ z_i' $ 를 사용한다.
• 핵심 기능인 $ \beta_n(U) $ 는 $ I_n $ 에서의 평균을 통해 정의되며, 그 차이 $ \beta_n(U) - \beta_{n-1}(U) $ 는 $ \nabla_n $ 에서의 합과 관련되며, 이는 크기가 $ m_n \geq C 2^{n/8} $ 인 블록으로 구조화된다.
• 환경 공간 $ Y $ 는 $ \Delta_n $ 의 블록들 위에서의 혼합노름 $ \ell^2 $-합으로 정의되며, $ 1/p_n - 1/2 = n^{-1} \log_a n^{1+\varepsilon} $ 를 만족하도록 $ p_n $ 이 선택되어 타입 2와 코타입 2를 보장한다.
• 공간 $ X_\varepsilon $ 는 $ \{z_i\} $ 의 선형 스펜의 폐포로 정의되며, $ \beta_n $-기능과 [2]의 보조정리 1을 사용한 변형에 의한 근사성질의 부재가 증명된다.
• 보완성 경계는 사영자의 $ \gamma_2 $-노름을 추정함으로써 유도되며, $ n = 2^N $ 에 대해 $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} N^{1+\varepsilon} $ 이고, 이는 $ \log^{1+\varepsilon} n $-보완성으로 이어진다.
• 특수한 선택으로 $ \varepsilon_n \to 0 $ 이고 $ \sum n^{-1-\varepsilon_n} < \infty $ 를 만족하는 $ p_n $ 을 사용하면, $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $ 이 되며, 이는 강력한 보완성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타입 2와 코타입 2를 갖는 바나흐 공간이면, 모든 부분공간이 반드시 근사성질을 가져야 하는가?
• RQ2 근사성질이 없는 바나흐 공간이 유한차원 부분공간을 $ C \log^{1+\varepsilon} n $-보완할 수 있는가? (어떤 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해)
• RQ3 근사성질이 없지만 모든 $ n $-차원 부분공간이 $ C \log n $-보완되는 공간을 구성할 수 있는가?
• RQ4 근사가 불가능한 바나흐 공간 내에서 유한차원 부분공간의 최적 보완 속도는 무엇인가?
• RQ5 보완 경계를 $ C \log n $ 으로 향상시킬 수 있는가, 아니면 $ \log^{1+\varepsilon} n $ 이 이미 최적인가?

주요 결과

• $ X_\varepsilon $ 는 혼합노름 공간 $ Y $ 내에서 $ \{z_i\} $ 의 스펜의 폐포로 정의되며, 근사성질을 갖지 않는다.
• 모든 $ n $-차원 부분공간 $ E \subset X_\varepsilon $ 에 대해, $ \ell^n_2 $ 와의 반바나흐-마자르 거리는 $ d(E, \ell^n_2) \leq C_\varepsilon \log^{1+\varepsilon} n $ 를 만족한다.
• $ X_\varepsilon $ 내의 각 $ n $-차원 부분공간 $ E $ 는 $ Y $ 내에서 $ C_\varepsilon \log^{1+\varepsilon} n $-보완되며, 따라서 $ X_\varepsilon $ 내에서도 보완된다.
• 보완성 경계는 사영자의 $ \gamma_2 $-노름 추정을 통해 도출되며, $ n = 2^N $ 에 대해 $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} N^{1+\varepsilon} $ 이고, 이는 $ \log^{1+\varepsilon} n $-보완성으로 이어진다.
• $ \varepsilon_n \to 0 $ 이고 $ \sum n^{-1-\varepsilon_n} < \infty $ 를 만족하는 $ p_n $ 의 정교한 선택은 $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $ 인 공간을 생성하며, 이는 경계가 달성 가능함을 확인한다.
• 논문은 $ C \log n $-보완성이 동일한 조건 하에서는 달성 불가능하다고 보여주며, 이는 $ \log^{1+\varepsilon} n $ 가 이러한 구성에서 본질적으로 최적임을 시사한다.