[논문 리뷰] On Banach Structure of Multivariate BV Spaces I

Alexander Brudnyi, Yuri Brudnyi|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 22.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다변수 유계 변동성(BV) 함수에 대한 통합 프레임워크를 국소 다항식 근사와 원자 분해를 통해 제안하며, 쌍대성과 약한* 컴팩트니스-property를 수립한다. 이는 이러한 BV 공간의 전조공간이 $ C^{ u} $ 함수들로 생성된 분리 가능 부분공간의 쌍대공간과 등거리 동형임을 증명하며, 이로 인해 이 부분공간의 이중쌍대공간이 전체 BV 공간과 등거리 동형임을 보여주는 '두 별 정리(two stars theorem)'를 유도한다.

ABSTRACT

We introduce and study multivariate generalizations of the classical BV spaces of Jordan, F. Riesz and Wiener. The family of the introduced spaces contains or is intimately related to a considerable class of function spaces of modern analysis including BMO, BV, Morrey spaces and those of Sobolev of arbitrary smoothness, Besov and Triebel-Lizorkin spaces. We prove under mild restrictions that the BV spaces of this family are dual and present constructive characterizations of their preduals via atomic decompositions. Moreover, we show that under additional restrictions such a predual space is isometrically isomorphic to the dual space of the separable subspace of the related BV space generated by $C^\infty$ functions. As a corollary we obtain the "two stars theorem" asserting that the second dual of this separable subspace is isometrically isomorphic to the BV space. An essential role in the proofs play approximation properties of the BV spaces under consideration, in particular, weak$^*$ denseness of their subspaces of $C^\infty$ functions. Our results imply the similar ones (old and new) for the classical function spaces listed above obtained by the unified approach.

연구 동기 및 목표

• 국소 다항식 근사를 통해 고전적 BV 공간의 다변수 일반화를 개발한다.
• 이 일반화된 BV 공간의 쌍대성 구조를 수립하며, 그 전조공간의 구조적 특성화를 포함한다.
• $ C^{∞} $ 함수들이 BV 공간 내에서 약한* 컴팩트니스และความ밀도 결과를 증명한다.
• 기존 함수공간—BMO, BV, 모레이, 소볼레프, 베소프, 트리벨-리조르킨—을 하나의 변분 프레임워크로 통합한다.
• 이 분리 가능 부분공간의 이중쌍대공간이 전체 BV 공간과 등거리 동형임을 보여주는 '두 별 정리'를 수립한다.

제안 방법

• $ \mathbb{R}^d $에서 다항식 근사를 이용한 국소 다항식 근사 기반의 변동성 노름을 사용하여 다중매개변수적 BV 공간의 가족을 정의한다.
• 전조공간의 원자 분해를 $ \kappa $-원자들을 통해 이용하여 BV 공간의 쌍대공간을 특성화한다.
• 약한* 위상과 Kreïn-Smulian 기준을 적용하여 쌍대공간 위의 함수해석학적 기능들의 약한* 연속성을 증명한다.
• 전조공간과 $ C^{∞} $ 함수들로 생성된 분리 가능 부분공간의 쌍대공간 사이의 등거리 동형을 수립한다.
• $ C^{∞} $ 함수들이 BV 공간에서 약한* 밀도를 이룬다는 사실을 활용하여 컴팩트니스와 쌍대성 결과를 증명한다.
• 유한 보렐 측도 $ \mu_{v^*} $ 등을 포함한 측도론적 도구를 사용하여 기능들을 표현하고 유계성 및 연속성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 다변수 BV 공간과 관련 함수공간(BMO, 소볼레프, 베소프 등)을 어떻게 하나의 변분 프레임워크로 통합할 수 있는가?
• RQ2 제안된 다변수 BV 공간의 전조공간은 무엇이며, 원자 분해를 통해 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건에서 BV 공간의 전조공간이 $ C^{∞} $ 함수들로 생성된 분리 가능 부분공간의 쌍대공간과 등거리 동형이 되는가?
• RQ4 BV 공간에서 $ C^{∞} $ 함수들의 약한* 밀도가 쌍대성 및 컴팩트니스 결과에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이러한 일반화된 BV 공간에 대해 '두 별 정리'를 수립할 수 있는가? 즉, 분리 가능 부분공간의 이중쌍대공간이 전체 BV 공간과 등거리 동형임을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 다변수 BV 공간의 전조공간이 $ \kappa $-원자들의 원자 분해를 통해 구조적으로 특성화된다.
• 전조공간은 $ C^{∞} $ 함수들로 생성된 분리 가능 부분공간의 쌍대공간과 등거리 동형이다.
• $ C^{∞} $ 함수들의 공간은 BV 공간에서 약한* 밀도를 이룬다. 이는 약한* 컴팩트니스와 쌍대성 증명에 필수적이다.
• 분리 가능 부분공간의 쌍대공간은 전체 BV 공간과 등거리 동형이며, 이는 '두 별 정리'를 수립한다.
• BV 공간 위의 기능들은 약한* 연속이며, 유한 보렐 측도에 대한 적분을 통해 표현 가능하다.
• 결과적으로 BMO, BV, 모레이, 소볼레프 공간 등의 고전적 함수공간에 대한 기존의 쌍대성 및 반사성 유사 결과들이 통합되고 일반화된다.