[논문 리뷰] On Besov regularity of Brownian motions in infinite dimensions

Tuomas Hytönen, Mark Veraar|ArXiv.org|2008. 01. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 4인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 바나흐 공간에서 X-값을 갖는 브라운 운동의 베소프 정규성에 대한 날카운 추정을 수립한다. 기존의 경로 정규성 이론을 확장하며, 등면적 부등식과 가우시안 과정에 대한 최대 모멘트 추정을 사용하여, 브라운 운동의 베소프 노름이 최종 증분의 첫 번째 절대 모멘트와 등가임을 증명한다. 이는 오르리츠 노름과 약한 분산을 포함한 명시적 상한을 제공하며, 비가산 베소프 공간에서 라돈 성질이 성립하지 않는 비정상적 행동을 드러낸다.

ABSTRACT

We extend to the vector-valued situation some earlier work of Ciesielski and Roynette on the Besov regularity of the paths of the classical Brownian motion. We also consider a Brownian motion as a Besov space valued random variable. It turns out that a Brownian motion, in this interpretation, is a Gaussian random variable with some pathological properties. We prove estimates for the first moment of the Besov norm of a Brownian motion. To obtain such results we estimate expressions of the form $\E \sup_{n\geq 1}\|ξ_n\|$, where the $ξ_n$ are independent centered Gaussian random variables with values in a Banach space. Using isoperimetric inequalities we obtain two-sided inequalities in terms of the first moments and the weak variances of $ξ_n$.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 바나흐 공간 X에 대해 실수값을 갖는 브라운 운동의 고전적 베소프 정규성 결과를 무한차원 바나흐 공간에서 벡터값을 갖는 설정으로 확장한다.
• 비가산 베소프 공간에서 값이 주어진 랜덤 변수로서 브라운 운동의 분포적 성질을 분석한다.
• 가우시안 과정에 대한 최대 부등식을 활용하여 X-값 브라운 운동의 베소프 노름에 대한 명시적 모멘트 추정을 유도한다.
• 특히 라돈 성질이 없는 비정상적 행동을 보이는 비가산 베소프 공간에 임베딩된 브라운 운동의 법칙을 조사한다.

제안 방법

• 등면적 부등식을 사용하여, 바나흐 공간 X에 값이 주어진 독립적 중심 가우시안 랜덤 변수 $\xi_n$ 에 대해 $\mathbb{E} \sup_{n \geq 1} \|\xi_n\|$ 의 이중 추정을 유도한다.
• 등가관계 $\mathbb{E} \sup_{n \geq 1} \|\xi_n\| \eqsim m + \|(\sigma_n)\|_{\Theta}$ 를 증명하며, 여기서 $m = \sup_n \mathbb{E} \|\xi_n\|$ 이고 $\sigma_n$ 은 약한 분산이며 $\Theta(x) = x^2 e^{-1/x^2}$ 이다.
• 브라운 운동의 이진 간격에서의 증분에 최대 모멘트 추정을 적용하여, $L^p$ 및 오르리츠 노름을 통해 베소프 반노름을 제어한다.
• 카한-칸친킨 부등식을 사용하여 모멘트 추정을 $p \in [1, \infty)$ 에 대한 $L^p$-노름으로 확장한다.
• 비율 $\Phi_2(x) = e^{x^2} - 1$ 인 오르리츠 노름 $\|\cdot\|_{\Phi_2}$ 를 분석하여 브라운 경로의 임계 정규성 특성을 규명한다.
• 두브의 최대 부등식과 노름 비교 기법을 조합하여 $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)}$ 와 $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{\Phi_2,\infty}(0,1;X)}$ 를 $\mathbb{E} \|W(1)\|$ 에 대한 표현으로 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 바나흐 공간 X에 대해 X-값 브라운 운동의 경로에 대한 정확한 베소프 정규성은 무엇인가?
• RQ2 브라운 운동의 베소프 노름 모멘트는 그 최종 값 $W(1)$ 의 모멘트와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 X-값 브라운 운동은 비가산 베소프 공간에서 값이 주어진 가우시안 랜덤 변수로 간주될 수 있는가?
• RQ4 비가산 베소프 공간에 임베딩되었을 때 브라운 운동의 법칙에서 나타나는 비정상적 성질은 무엇인가?
• RQ5 모멘트 추정에서 $p \to \infty$ 일 때 $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)}$ 의 날카운 점근적 행동은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $p \in [1, \infty)$ 에 대해 X-값 브라운 운동의 기대 베소프 노름은 $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)} \eqsim_p (\mathbb{E} \|W(1)\|^p)^{1/p}$ 를 만족한다.
• 오르리츠-베소프 공간에 대해서는 $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{\Phi_2,\infty}(0,1;X)} \eqsim \mathbb{E} \|W(1)\|$ 이며, 등가 상수는 X에 관계없이 일정하다.
• 베소프 공간 $B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)$ 나 $B^{1/2}_{\Phi_2,\infty}(0,1;X)$ 에 값이 주어진 랜덤 변수로서 W의 법칙은 가우시안이지만, $\mathbb{P}(\|W\| \leq \varepsilon) = 0$ 이므로 라돈 성질을 갖지 않는다.
• 독립적 중심 가우시안 랜덤 변수 $\xi_n$ 이 바나흐 공간 X에 값이 주어지면, $\mathbb{E} \sup_{n \geq 1} \|\xi_n\| \eqsim m + \|(\sigma_n)\|_{\Theta}$ 가 성립하며, 여기서 $m = \sup_n \mathbb{E} \|\xi_n\|$ 이고 $\sigma_n$ 은 약한 분산이다.
• 모멘트 추정에서 $\|(2^{-j/p})_j\|_{\Theta}$ 는 $p \to \infty$ 일 때 $\sqrt{\log p}$ 와 점근적으로 등가이며, 이는 모멘트 추정에서 $\mathbb{E} \|W(1)\|$ 에 비해 무시할 수 있다.
• 최대 모멘트 추정에서 약한 분산 항 $\|(\sigma_j)\|_{\Theta}$ 는 $C(1 + \sqrt{\log p}) \|i_W\|$ 로 유계화되며, 이는 큰 $p$ 에서 $\mathbb{E} \|W(1)\|$ 에 비해 훨씬 작다. 따라서 $m$ 항이 지배한다.