[논문 리뷰] On blowup of classical solutions to the compressible Navier-Stokes equations

Xin Zhouping, Wei Yan|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 14.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 열전도가 없는 압축성 라우아르-스트로크스 방정식의 고전적 해가 초기 자료에 고립된 질량 군이 포함되어 있을 경우, 초기 자료의 크기나 원거리 영역의 진공 조건과는 무관하게 유한 시간 내에 폭발함을 증명한다. 이 증명은 질량의 제2모멘트가 제곱적으로 증가함을 보여주는 에너지 및 운동량 추정에 기반하며, 이는 유계성과 모순되며 유한 시간 내 폭발을 암시한다.

ABSTRACT

We study the finite time blow up of smooth solutions to the Compressible Navier-Stokes system when the initial data contain vacuums. We prove that any classical solutions of viscous compressible fluids without heat conduction will blow up in finite time, as long as the initial data has an isolated mass group (see definition in the paper). The results hold regardless of either the size of the initial data or the far fields being vacuum or not. This improves the blowup results of Xin (1998) by removing the crucial assumptions that the initial density has compact support and the smooth solution has finite total energy. Furthermore, the analysis here also yields that any classical solutions of viscous compressible fluids without heat conduction in bounded domains or periodic domains will blow up in finite time, if the initial data have an isolated mass group satisfying some suitable conditions.

연구 동기 및 목표

• 초기 자료에 고립된 질량 군이 포함되어 있을 경우, 압축성 라우아르-스트로크스 방정식의 고전적 해가 유한 시간 내에 폭발함을 입증하는 것.
• 이전의 폭발 결과에서 사용된 밀도의 컴팩트 지지 및 유한 총 에너지 조건과 같은 제한적인 가정을 제거하는 것.
• 적절한 초기 조건 하에서 유한 및 주기적 영역으로 폭발 결과를 확장하는 것.
• 원거리 영역이 진공이 아니거나 초기 자료가 크더라도 폭발이 발생함을 보여주는 것.
• 에너지 및 운동량 추정을 통해 다양한 영역에서 폭발을 통합적으로 다룰 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 질량이 V 내에 있고 U 외부는 진공인 중첩된 집합 쌍 (V, U)을 정의하여 고립된 질량 군을 정의한다.
• 압축성 라우아르-스트로크스 시스템을 사용하여 질량, 운동량 및 질량의 제2모멘트의 진화 방정식을 유도한다.
• 에너지 및 운동량 추정을 통해 질량의 제2모멘트에 하한을 설정하여 시간에 따라 제곱적으로 증가함을 보인다.
• 공간적 구속성으로 인해 제2모멘트가 유계임을 이용하여, 해가 유한 시간 이후에도 존재할 경우 모순을 이끌어낸다.
• 초기 운동량이 0이 아닐 경우를 다루기 위해 갈릴레이 변환을 적용하여 분석의 구조를 유지한다.
• 고립된 질량 군이 진화 도중 경계에 도달하지 않도록 보장함으로써, 결과를 유한 및 주기적 영역으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도의 컴팩트 지지 조건을 가정하지 않고도, 압축성 라우아르-스트로크스 방정식의 고전적 해가 유한 시간 내에 폭발할 수 있는가?
• RQ2 유한 시간 내 폭발이 발생하기 위해 원거리 영역에 진공이 존재해야 하는가?
• RQ3 큰 초기 자료 또는 유한/주기적 영역에서 폭발이 발생하는가?
• RQ4 유한 총 에너지나 컴팩트 지지 조건 없이도 폭발 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ5 고립된 질량 군의 존재가 해의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 열전도가 없는 압축성 라우아르-스트로크스 방정식의 고전적 해는 초기 자료에 고립된 질량 군이 포함되어 있을 경우 유한 시간 내에 폭발한다.
• 초기 자료의 크기나 원거리 영역이 진공이든 비진공이든 간에 폭발은 발생한다.
• 이전 연구에서 사용된 밀도의 컴팩트 지지 및 유한 총 에너지 가정이 필요 없어졌다.
• 질량의 제2모멘트는 시간에 따라 최소 제곱적으로 증가하며, 이는 물리적 영역에서의 유계성과 모순된다.
• 적절한 조건 하에서 고립된 질량 군에 대해 결과는 유한 및 주기적 영역으로 확장된다.
• 분석 결과는 고립된 질량 군이 존재할 경우, 원거리 영역이 진공이 아니더라도 해가 전 시간에 대해 존재할 수 없음을 확인한다.