[논문 리뷰] On Bott-Chern forms with applications to differential K-theory

Vamsi Pritham Pingali, Leon A. Takhtajan|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 05.

Geometry and complex manifolds인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 헤르미트 호로몰로픽 벡터 번들의 캐논리컬 접속을 갖는 체른-웨일 이론을 사용하여, 비대각형 메트릭을 가진 자명한 번들 위에서 체른 형식을 명시적으로 계산한다. 복소다양체 위의 모든 ∂∂̄-정확한 (k,k)-형식이 캐논리컬 접속을 갖는 자명한 번들에서 온 체른 특성형식의 차로 나타남을 증명한다. 또한 모든 실수 (k,k)-형식 (k < n)이 자명한 벡터 번들의 두 헤르미트 메트릭에 대한 보트-체른 형식으로 나타남을 보이며, 시몬스와 설리반의 결과에 대한 복소기하학적 유사 결과를 제공한다. 첫 번째 항이 선다발인 짧은 완전열서열에 대한 보트-체른 형식에 대한 명시적 공식을 유도하였고, 복소프로젝티브 공간의 초곡면의 총 체른 형식에 대한 간단한 공식을 얻었다.

ABSTRACT

We use Chern-Weil theory for Hermitian holomorphic vector bundles with canonical connections for explicit computation of the Chern forms of trivial bundles with special non-diagonal Hermitian metrics. We prove that every del-dellbar exact real form of the type (k,k) on an n-dimensional complex manifold X arises as a difference of the Chern character forms of trivial Hermitian vector bundles with canonical connections, and that (modulo the image of del and delbar) every real form of type (k,k), k<n, arises as a Bott-Chern form for two Hermitian metrics on some trivial vector bundle over X. The latter result is a complex manifold analogue of Proposition 2.6 in the paper arXiv: 0810.4935 by J. Simons and D. Sullivan. As an application, we obtain an explicit formula for the Bott-Chern form of a short exact sequence of holomorphic vector bundles, considered by Bott and Chern in classic 1965 paper, for the case when the first term is a line bundle. We also present a very simple explicit formula for the total Chern form of a hypersurface in the complex projective space.

연구 동기 및 목표

• 헤르미트 벡터 번들 위의 캐논리컬 접속을 이용한 보트-체른 형식의 미분기하학적 실현을 확립하기 위해.
• 복소다양체 위의 모든 ∂∂̄-정확한 (k,k)-형식이 캐논리컬 접속을 갖는 자명한 번들에서 온 체른 특성형식의 차로 나타남을 보여주기 위해.
• 복소다양체 위의 모든 실수 (k,k)-형식 (k < n)이 자명한 벡터 번들의 두 헤르미트 메트릭에 대한 보트-체른 형식으로 나타남을 증명하기 위해.
• 첫 번째 항이 선다발인 헬모르피크 벡터 번들의 짧은 완전열서열에 대한 보트-체른 형식에 대한 명시적 공식을 유도하기 위해.
• 복소프로젝티브 공간의 초곡면에 대한 총 체른 형식에 대한 간단하고 명시적인 공식을 제시하기 위해.

제안 방법

• 헤르미트 호로몰로픽 벡터 번들과 캐논리컬 접속을 갖는 체른-웨일 이론을 사용하여 곡률과 체른 형식을 계산하기 위해.
• 자명한 벡터 번들의 비대각형 헤르미트 메트릭을 사용하여 명시적인 체른 특성형식을 생성하기 위해.
• ∂와 ∂̄의 상에 모odulo하여 (k,k)-형식의 호모로지적 구조를 분석하기 위해.
• 보트-체른 형식이 동일한 번들 위의 두 메트릭의 체른 형식 간의 차이를 측정한다는 사실을 활용하기 위해.
• 보트와 체른이 연구한 고전적 헬모르피크 벡터 번들의 짧은 완전열서열에 결과를 적용하며, 첫 번째 항이 선다발인 경우에 집중하기 위해.
• 위의 구성들을 사용하여 복소프로젝티브 공간의 초곡면에 대한 총 체른 형식에 대한 닫힌 형태의 표현을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 ∂∂̄-정확한 실수 (k,k)-형식이 캐논리컬 접속을 갖는 자명한 헤르미트 벡터 번들에서 온 체른 특성형식의 차로 나타날 수 있는가?
• RQ2 모든 실수 (k,k)-형식 (k < n)이 자명한 벡터 번들의 두 헤르미트 메트릭에 대한 보트-체른 형식으로 나타날 수 있는가?
• RQ3 첫 번째 항이 선다발인 헬모르피크 벡터 번들의 짧은 완전열서열에 대한 보트-체른 클래스의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 보트-체른 형식을 사용하여 복소프로젝티브 공간의 초곡면에 대한 총 체른 형식을 단순하고 명시적으로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ5 비대각형 헤르미트 메트릭을 가진 자명한 번들에 대한 체른-웨일 구성에서 캐논리컬 접속의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• n차원 복소다양체 위의 모든 ∂∂̄-정확한 실수 (k,k)-형식이 캐논리컬 접속을 갖는 두 자명한 헤르미트 벡터 번들의 체른 특성형식의 차로 나타난다.
• 복소다양체 위의 모든 실수 (k,k)-형식 (k < n)이 한 개의 자명한 벡터 번들의 두 헤르미트 메트릭에 대한 보트-체른 형식으로 나타나며, ∂와 ∂̄의 상에 모odulo된다.
• 첫 번째 항이 선다발인 헬모르피크 벡터 번들의 짧은 완전열서열에 대한 보트-체른 형식에 대한 명시적 공식이 도출되었다.
• 복소프로젝티브 공간의 초곡면에 대한 총 체른 형식에 대한 단순하고 닫힌 형태의 표현이 얻어졌다.
• 이 구성은 캐논리컬 접속과 자명한 번들 위의 비대각형 메트릭을 통해 보트-체른 클래스의 미분 K-이론적 해석을 제공한다.