[논문 리뷰] On Bredon (Co-)Homological Dimensions of Groups

Martin Fluch|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 25

한 줄 요약

이 학위논문은 가상 순환 부분군의 가족에 대해 Bredon (코-)동조 차원을 계산하기 위한 호모로지 도구를 개발한다. 기하학적 하한을 설정하고, 무한 순환 확장에 대한 분류 공간의 명시적 모델을 구축하며, 해석 가능한 Baumslag–Solitar 군과 기타 군류의 정확한 Bredon 차원을 규명하여, 코homological 차원과 기하학적 차원이 일치하는 경우를 해결한다.

ABSTRACT

This is a revised version of the author's PhD thesis, including the corrections by the examiners. It also includes a few additional small corrections. In this thesis the objects of study are classifying spaces of groups with stabilisers in a given family of subgroups. Given a group G and a family of subgroups we study the minimal dimension a classifying space can have. We focus on classifying spaces with virtually cyclic stabilisers.

연구 동기 및 목표

• 가상 순환 부분군의 가족에 대해 $\underline{\underline{E}}G$ 의 최소 차원 모델을 결정하는 것.
• 임의의 부분군 가족에 대해 Bredon (코-)동조 차원을 계산하기 위한 호모로지 기법을 개발하는 것.
• 모델 $\underline{\underline{E}}B$ 가 알려진 군 $B$ 의 무한 순환 확장인 경우 $\underline{\underline{E}}G$ 의 명시적 모델을 구축하는 것.
• 나무를 $\underline{\underline{E}}G$ 의 모델로 갖는 가산, 비순환, 해석 가능한 군을 분류하는 것.
• $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = 1$ 이면 $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 1$ 가 되는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 부분군의 가족 $\mathfrak{F}$ 에 대해 안정자(스테이블라이저)가 포함된 $G$-CW-複체를 연구하기 위해 $\mathcal{O}_{\mathfrak{F}}G$-모듈의 범주에서 Bredon 코homology 를 사용한다.
• 분류 공간 $E_{\mathfrak{F}}G$ 를 이용하여 기하학적 방법을 적용하여 Bredon (코-)동조 차원에 대한 하한을 유도한다.
• 군 $G$ 가 $B$ 의 무한 순환 확장인 경우, $\underline{\underline{E}}B$ 의 모델로부터 $\underline{\underline{E}}G$ 의 모델을 구축한다.
• Bredon 모듈의 샤포의 정리와 텐서곱 기법을 사용하여 분해와 차원을 분석한다.
• Lück 과 Weiermann 의 결과를 활용하여 Bredon 기하학적 차원 1 인 군을 분류한다.
• 코homological 차원 2 인 해석 가능한 군의 분류 결과를 적용하여 Bredon 차원을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 군 $G$ 에 대해 $\underline{\underline{E}}G$ 의 $G$-CW-複體 모델의 최소 차원은 무엇인가?
• RQ2 $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = 1$ 이면 $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 1$ 가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 해석 가능한 Baumslag–Solitar 군의 Bredon (코-)동조 차원은 무엇인가?
• RQ4 나누어지지 않은, 비순환, 해석 가능한 군 중에서 어떤 군이 $\underline{\underline{E}}G$ 의 나무 모델을 갖는가?
• RQ5 무한 순환 확장에서 Bredon 차원은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 해석 가능한 Baumslag–Solitar 군 $G \cong \mathbb{Z}[1/m] \rtimes \mathbb{Z}$ 에서 $|m| \neq 1$ 이면, Bredon (코-)동조 차원과 기하학적 차원이 모두 2와 같다.
• 가산, 비순환, 해석 가능한 군에 대해 $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = 1$ 이고 $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 1$ 이 되는 것은 $G$ 가 국소적으로 가상 순환적이지만 가상 순환적이지 않을 때 정확히 일어난다.
• $\mathbb{Z}[1/m] \rtimes \mathbb{Z}$ 는 $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{hd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 2$ 를 만족하며, 이는 이 경우 Bredon 코homology 에서 Eilenberg–Ganea 추측이 성립함을 확인한다.
• 가상 코homological 차원 2 인 가상 폴리사이클릭 군에 대해 Bredon 차원은 $\operatorname{\underline{\underline{hd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 3$ 를 만족하며, 이는 $\mathbb{Z}^2$ 와 $\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}$ 를 포함한다.
• 램플라이터 군 $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ 는 $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 2$ 를 만족하며, $\underline{\underline{E}}G$ 에 대해 2차원 모델을 갖는 구체적인 예를 제공한다.
• 가상 폴리사이클릭 군 중에서 $\operatorname{\underline{gd}}G \leq 2$ 이고 비가상 순환인 경우, $\operatorname{\underline{\underline{hd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 2$ 를 만족하며, 이는 순위 $\geq 2$ 인 자유군과 유한 군의 그래프의 기본군을 포함한다.