[논문 리뷰] On $C^0$-continuity of the spectral norm for symplectically non-aspherical manifolds

Yusuke Kawamoto|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 19.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 Buhovsky-Humilière-Seyfaddini의 방법을 확장하여, 복소 프로젝티브 공간과 음의 단조 비대칭 심플렉틱 다양체를 포함한 심플렉틱적으로 비대칭인 다양체에서 스펙트럼 노름의 $C^0$-연속성을 확립한다. 이는 $\mathbb{C}P^n$에 대한 $C^0$-연속성의 대체 증명을 제공하며, 유리 심플렉틱 다양체에 대해 부분적인 $C^0$-연속성을 증명하고, $C^0$-심플렉틱 위상수학, 예를 들어 아르놀트 추측과 이격된 디스크 문제에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the relation between the $C^0$-topology and the topology induced by the spectral norm on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a closed symplectic manifold. Following the approach of Buhovsky-Humilière-Seyfaddini, we prove the $C^0$-continuity of the spectral norm for complex projective spaces and negative monotone symplectic manifolds. The case of complex projective spaces provides an alternative approach to the $C^0$-continuity of the spectral norm proven by Shelukhin. We also prove a partial $C^0$-continuity of the spectral norm for rational symplectic manifolds. Some applications such as the Arnold conjecture in the context of $C^0$-symplectic topology are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱적으로 비대칭인 다양체에서 스펙트럼 노름의 $C^0$-연속성을 확립하여, 이전의 심플렉틱적으로 대칭인 경우 및 특정 사례에 대한 결과를 확장한다.
• Buhovsky-Humilière-Seyfaddini 방법을 사용하여 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{C}P^n$에 대한 $C^0$-연속성의 대체 증명을 제공한다.
• 음의 단조 비대칭 심플렉틱 다양체로 $C^0$-연속성 결과를 확장하고, 유리 심플렉틱 다양체에 대해 부분적인 $C^0$-연속성을 증명한다.
• 연속성 결과를 $C^0$-심플렉틱 위상수학에 적용하며, 이는 $C^0$-아르놀트 추측과 이격된 디스크 문제를 포함한다.
• 스펙트럼 이론을 매끄러운 해밀턴 미분형 이상의 $C^0$-극한을 통해 해밀턴 홈오미오피즘에 대한 스펙트럼 불변량을 정의한다.

제안 방법

• 해밀턴 미분형의 $C^0$-극한 하에서 스펙트럼 불변량을 분석함으로써, Buhovsky-Humilière-Seyfaddini의 접근을 비대칭 설정에 적응시킨다.
• PSS 호모로지 이sov모르피즘을 사용하여 양자 호모로지와 플로어 호모로지를 연결함으로써, 행동 필터링을 통한 스펙트럼 불변량의 정의를 가능하게 한다.
• 불등식 $\sigma_{a,a* b}(\phi\psi) \leq \sigma_{a,a* b}(\phi) + \gamma(\psi)$에서 유도된 스펙트럼 불변량 $\sigma_{a,a* b}$에 대한 삼각 부등식을 적용한다. 여기서 $\gamma$는 스펙트럼 노름이다.
• 고정점 집합의 이웃 $U$ 밖에서 지지되는 $C^2$-소작 함수 $f$를 사용한 편경 조정을 통해, $C^0$-변형 하에서 스펙트럼 불변량을 제어한다.
• BHS18b에서 제시된 핵심 주장인, $\phi_{H_k} \to \phi$ 이면서 $C^0$ 수렴할 경우, 충분히 작은 $\varepsilon_0$와 큰 $k$에 대해 $c(H_k \# \varepsilon_0 f, a) = c(H_k, a)$ 임을 이용하여, 스펙트럼 불변량이 소규모 편경에 대해 안정적임을 보장한다.
• 해밀턴 미분형의 $C^0$-수렴하는 수열을 따라 극한을 취함으로써 $\sigma_{a,a* b}$의 $C^0$-연속성을 확립하고, 이를 해밀턴 홈오미오피즘으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{C}P^n$ 및 음의 단조 비대칭 다양체와 같은 심플렉틱적으로 비대칭인 다양체에서 스펙트럼 노름 $\gamma$는 $C^0$-연속적인가?
• RQ2 Shelukhin의 접근 방식과 독립적으로, Buhovsky-Humilière-Seyfaddini 방법을 사용하여 $\mathbb{C}P^n$에 대한 스펙트럼 노름의 $C^0$-연속성을 재증명할 수 있는가?
• RQ3 유리 심플렉틱 다양체에서 스펙트럼 불변량에 대한 $C^0$-연속성의 범위는 어느 정도인가?
• RQ4 $C^0$-연속성의 스펙트럼 불변량은 어떻게 해밀턴 홈오미오피즘의 불변량을 정의하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 $C^0$-연속성의 함의는 $C^0$-심플렉틱 위상수학, 즉 $C^0$-아르놀트 추측과 이격된 디스크 문제에 대해 어떤가?

주요 결과

• 스펙트럼 노름 $\gamma$는 음의 단조 비대칭 심플렉틱 다양체에서 $C^0$-연속적이며, 이는 심플렉틱적으로 대칭인 다양체에서의 결과를 확장한다.
• 복소 프로젝티브 공간 $\mathbb{C}P^n$에 대한 스펙트럼 노름의 $C^0$-연속성에 대한 대체 증명이 확립되었으며, Shelukhin의 원래 증명과 독립적이다.
• 적절한 코homology 클래스 조건 하에서, 유리 심플렉틱 다양체에서 스펙트럼 불변량 $\sigma_{a,a* b}$에 대해 부분적인 $C^0$-연속성이 증명되었다.
• 스펙트럼 불변량 $\sigma_{a,a* b}$는 $C^0$-극한을 통해 해밀턴 홈오미오피즘으로 연속적으로 확장되며, 이는 $C^0$-버전의 스펙트럼 이론을 가능하게 한다.
• $\gamma$와 $\sigma_{a,a* b}$의 $C^0$-연속성은, $\sigma_{h^{l_1},h^{l_2}}(\phi) = 0$인 해밀턴 홈오미오피즘 $\phi$의 고정점 집합이 호모로지적으로 비자명한 지지집합을 가져야 한다는 것을 의미하며, 이는 $C^0$-아르놀트 추측을 이끈다.
• 이격된 디스크 문제에 대해, 만약 해밀턴 홈오미오피즘 $\phi$가 $\sigma_{h^{l_1},h^{l_2}}(\phi) = 0$를 만족한다면, $\mathrm{Fix}(\phi)$의 임의의 열린 이웃은 호모로지적으로 비자명하다는 것을 보여, 소규모 이격이 불가능하다.