[논문 리뷰] On $C^*$-algebras Associated to Certain Endomorphisms of Discrete Groups

Ilan Hirshberg|ArXiv.org|2001. 12. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 이산 애먼 군 $G$의 왼쪽 정규 표현과 유한 지수 이미지를 가진 단사 내형사상 $\alpha: G \to G$에 관련된 등급 등사 $S$에 의해 생성되는 C*-대수 ${\cal E}_\alpha$를 구성한다. $\alpha$가 순수하고 완전히 정규일 경우 ${\cal E}_\alpha$가 단순하다는 것을 증명하며, 이는 게이지 불변 부분대수와 게르파인 변환, 그리고 솔레노이드 유사 공간 위의 스펙트럼 분석을 포함하는 표현 이론 기법을 사용한다.

ABSTRACT

Let α:G --> G be an endomorphism of a discrete amenable group such that [G:α(G)]

연구 동기 및 목표

• 이산 군 $G$ 위의 왼쪽 콘볼루션 연산자와 $[G: \alpha(G)] < \infty$를 만족하는 단사 내형사상 $\alpha: G \to G$에 의해 유도되는 등급 등사에 의해 생성되는 C*-대수의 구조를 연구하는 것.
• 비가역 내형사상으로의 교차곱 구성의 일반화를 위해 특정 교환관계 및 투영 관계를 만족하는 유일한 C*-대수 ${\cal E}_\alpha$를 도입하는 것.
• 특히 $G$가 애먼이고 $\alpha$가 순수하며 완전히 정규일 경우 ${\cal E}_\alpha$가 단순해지는 조건을 확립하는 것.
• 게이지 불변 부분대수 ${\cal F}$를 그룹oids C*-대수의 극한으로서 분해하고, 이를 솔레노이드 유사 공간을 통한 대수의 스펙트럼과 연결하는 것.

제안 방법

• 모든 $x \in G$에 대해 $S\delta_x = \delta_{\alpha(x)}S$를 만족하는 $\mathbb{C}G$와 등급 등사 $S$에 의해 생성되는 유일한 C*-대수 ${\cal E}_\alpha$로 정의한다.
• $\gamma_t(S) = tS$, $\gamma_t(a) = a$ ($a \in \mathbb{C}G$)로 주어지는 $\mathbb{T}$-작용 $\gamma_t$를 ${\cal E}_\alpha$ 위에 도입하고, 게이지 불변 부분대수 ${\cal F} = \{ a \in {\cal E}_\alpha \mid \gamma_t(a) = a \}$를 정의한다.
• ${\cal F}$가 $P_n = S^n S^{*n}$를 포함하는 원소 $\delta_x P_n \delta_y$들의 닫힌 선형 생성물임을 보이고, ${\cal F}_n$이 $D \times G$의 군oids C*-대수임을 식별한다. 여기서 $D$는 $G$에서 $\alpha^n(G)$의 오른쪽 여부류 쌍의 군oids이다.
• 곱셈을 기술하기 위해 삼중항 표기법 $(x,k,y) = \delta_{x\alpha^n(k)} P_n \delta_y$를 사용하며, 조건 $y = z^{-1}$일 때는 $(x,k,y)(z,l,w) = (x,kl,w)$이고, 그 외의 경우는 0이다.
• ${\cal A}$의 스펙트럼인 $\hat{{\cal A}}$와 측도 $\nu$를 갖는 $L^2(\hat{{\cal A}}, \nu)$ 위에 ${\cal E}_\alpha$의 표현 $\pi$를 구성하고, 게르파인 변환을 사용하여 $E(a)$의 스펙트럼을 분석한다.
• ${\cal E}_\alpha$의 표현 $\pi$에 대해 거의 모든 $\omega$에 대해 $\|\pi(a)\| \geq |\widehat{E(a)}(\omega)|$임을 보이며, 이는 무한 수열 $R_1^{\mathbb{N}}$에 관련된 특성 함수의 수열 $\chi_{B_n}$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군의 왼쪽 정규 표현과 내형사상에 의해 유도된 등급 등사에 의해 생성되는 C*-대수 ${\cal E}_\alpha$가 단순해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 게이지 불변 부분대수 ${\cal F}$는 어떻게 분해되며, 그룹oids C*-대수의 관점에서 어떤 구조를 갖는가?
• RQ3 무한 수열의 비꼬임이 없는 집합은 ${\cal E}_\alpha$의 표현 스펙트럼 분석에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 예상 연산자 $E: {\cal E}_\alpha \to {\cal F}$는 표현과 어떻게 상호작용하며, 그 충실성은 단순성 증명에 있어 왜 필수적인가?
• RQ5 ${\cal E}_\alpha$의 구조는 군oids 구성으로 기술될 수 있는가? 그리고 이는 본질적으로 주기적인 성질과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• ${\cal F}$는 ${\cal K}(l^2(\alpha^n(G)\backslash G)) \otimes C^*(G)$의 극한으로서의 유사성과 포함 사상 $\iota_n: {\cal F}_n \to {\cal F}_{n+1}$, $\iota_n((x,k,y)) = (x,\alpha(k),y)$를 통해 유도되는, 유한 지수의 포함 관계를 갖는다.
• $R_1^{\mathbb{N}}$ 내의 비꼬임이 없는 수열의 집합은 불변 측도 $\mu$ 하에 조밀하고 전측도를 갖는다. 이는 스펙트럼 분석의 일반성 보장을 한다.
• 모든 표현 $\pi$에 대해 스펙트럼의 조밀한 집합의 $\omega$에 대해 $\|\pi(a)\| \geq |\widehat{E(a)}(\omega)|$가 성립하며, 이는 단순성 증명에 핵심적이다.
• $G$가 애먼이고 $\alpha$가 순수하며 완전히 정규일 경우 ${\cal E}_\alpha$는 단순하다. 이는 $E$의 충실성과 $\ker(\pi)$가 $E$에 대해 불변이기 때문에, 모든 비자명한 표현이 충실해야 한다는 점에서 기인한다.
• ${\cal A}$의 스펙트럼 $\hat{{\cal A}}$는 측도 $\nu$를 지니며, $\widehat{E(a)}(\omega) = \lim_{n \to \infty} \langle \pi(\chi_{B_n} a \chi_{B_n}) \xi_0, \xi_0 \rangle$로 표현되며, 이는 게르파인 변환과 내형사상의 역학을 연결한다.
• 이 구성은 솔레노이드 공간 $\hat{{\cal A}}$ 위에서 $\mathbb{Z}$의 작용에 관련된 변환 군oids의 C*-대수와 동치이며, 이로 유도된 군oids는 비자명한 불변 부분집합이 없고 본질적으로 주기적이다.