[논문 리뷰] On certain arithmetic functions involving exponential divisors

László Tóth|arXiv (Cornell University)|2006. 10. 09.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 13인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 지수적 약수와 지수적으로 서로소인 정수를 포함하는 산술 함수를 조사하며, $\phi^{(e)}(n)$, $\tilde{\sigma}(n)$, $\tilde{P}(n)$ 등의 함수를 도입하고 분석한다. 주요 결과로는 이들의 점점 큰 평균과 최대 순서에 대한 점근적 공식이 제시되며, 그들의 합함수에 대한 정확한 점근적 공식이 유도되고 $\tilde{P}(n)$의 최대 순서가 $\limsup_{n\to\infty} \frac{\tilde{P}(n)}{n\log\log n} = \frac{6}{\pi^2}e^{ u}$임을 보여준다. 이 작업은 디리클레 급수와 곱셈 함수 기법을 사용하여 $k$-자연수와 제곱자기 없는 정수에 관한 이전 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

The integer $d$ is called an exponential divisor of $n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}>1$ if $d=\prod_{i=1}^r p_i^{c_i}$, where $c_i \mid a_i$ for every $1\le i \le r$. The integers $n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}, m=\prod_{i=1}^r p_i^{b_i}>1$ having the same prime factors are called exponentially coprime if $(a_i,b_i)=1$ for every $1\le i\le r$. In the paper we investigate asymptotic properties of certain arithmetic functions involving exponential divisors and exponentially coprime integers.

연구 동기 및 목표

• 지수적 약수를 포함하는 산술 함수의 점근적 행동을 조사하는 것, 특히 $\phi^{(e)}(n)$, $\tilde{\sigma}(n)$, $\tilde{P}(n)$를 포함하여.
• $k$-자연수와 지수적으로 제곱자기 없는 정수에 관한 결과를 일반화하기 위해 합함수 $\sum_{n\leq x} q_k^{(e)}(n)$를 연구하는 것.
• $\tilde{P}(n)$의 최대 순서를 결정하고 $\phi^{(e)}(n)$, $\tilde{\sigma}(n)$, $\tilde{P}(n)$의 평균 순서에 대한 정확한 점근적 공식을 유도하는 것.
• $\varphi_e(n)$의 순서, $\tilde{\sigma}(n)$의 최소 순서, $\omega(\phi^{(e)}(n))$의 최대 순서와 관련된 열린 문제를 탐구하는 것.

제안 방법

• 논문은 $\tilde{P}(n)$를 분석하기 위해 곱셈 함수 이론과 디리클레 급수를 사용하며, $\sum_{n=1}^\infty \frac{\tilde{P}(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)\zeta(2s-1)}{\zeta(3s-2)} W(s)$의 디리클레 급수 표현을 도출한다. 여기서 $W(s)$는 $\operatorname{Re}(s) > 3/4$에서 절대 수렴한다.
• Sita Ramaiah와 Suryanarayana의 일반 결과를 적용하여 $\sum_{n\leq x} q_k^{(e)}(n)$를 추정하며, $k$-자연수에 대한 Walfisz의 추정을 활용한다.
• $\sum_{n\leq x} (\tilde{\sigma}(n))^u$의 경우 부분 합의 기법과 $0 < g(n) \leq 1$인 $g(n) = (\tilde{\sigma}(n)/n)^u$의 유계를 적용하고, $k=2$, $\beta = u$인 Lemma 2를 사용한다.
• $\tilde{P}(n)$의 최대 순서는 Tóth와 Wirsing의 일반 결과를 사용하여 유도되며, $f(n) = \tilde{P}(n)/n$에 대해 $f(p^2) = 1 + 1/p$ 및 $\rho(p) = 1 + 1/p$를 적용한다.
• $\phi^{(e)}(n)$이 곱셈 함수임을 보이고, $n$의 세제곱완전 핵심에만 의존함을 보이며, $\phi^{(e)}(p^a) = \phi(a)$임을 보여, 기존의 곱셈 함수 기법을 적용할 수 있다.
• 부분 합의 기법과 $\sum_{mn^2 \leq x} mn$에 대한 추정을 사용하여 $\sum_{n\leq x} \tilde{P}(n)$의 점근적 공식을 도출하며, Pétermann과 Wu의 결과에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 상수들이 그 점근 전개에 포함되는지, $\phi^{(e)}(n)$의 평균 순서는 무엇인가요?
• RQ2 $u > 1/3$일 때 $\sum_{n\leq x} (\tilde{\sigma}(n))^u$의 점근적 행동은 어떻게 되며, 오차 항은 무엇인가요?
• RQ3 $\tilde{P}(n)$의 최대 순서는 무엇이며, $n\log\log n$과 어떻게 관련되어 있나요?
• RQ4 $\sum_{n\leq x} \tilde{P}(n)$의 점근적 공식은 무엇이며, 주요 항의 상수 $C_4$는 무엇인가요?
• RQ5 $\Omega(\phi^{(e)}(n))$의 최대 순서는 무엇이며, 어떤 $n$에서 이를 달성합니까?

주요 결과

• $\sum_{n\leq x} \phi^{(e)}(n)$는 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $C_1 x + C_2 x^{1/3} + O(x^{1/5 + \varepsilon})$의 점근 전개를 가지며, 상수 $C_1$과 $C_2$는 오일러乘수로 정의된다.
• $u > 1/3$일 때 $\sum_{n\leq x} (\tilde{\sigma}(n))^u$는 $C_3 x^{u+1} + O(x^{u+1/2} \delta(x))$를 만족한다. 여기서 $\delta(x) = \exp(-A(\log x)^{3/5} (\log\log x)^{-1/5})$이며, $C_3$는 오일러 곱으로 주어진다.
• $\sum_{n\leq x} \tilde{P}(n)$는 점근적으로 $C_4 x^2 + O(x (\log x)^{5/3})$이며, $C_4 = \frac{1}{2} \prod_p \left(1 + \sum_{a=2}^\infty \frac{\tilde{P}(p^a) - p \tilde{P}(p^{a-1})}{p^{2a}} \right)$이다.
• $\tilde{P}(n)$의 최대 순서는 $\limsup_{n\to\infty} \frac{\tilde{P}(n)}{n \log\log n} = \frac{6}{\pi^2} e^{\gamma}$를 만족한다. 여기서 $\gamma$는 오일러의 상수이다.
• $\Omega(\phi^{(e)}(n))$의 최대 순서는 $\frac{2}{5} \frac{\log n}{\log\log n}$이며, 이는 첫 $k$개의 소수 $p_1, \dots, p_k$에 대해 $n_k = (p_1 \cdots p_k)^5$일 때 달성된다.
• 논문은 Wu의 지수적으로 제곱자기 없는 정수에 관한 결과를 일반화하여, $k \geq 2$일 때 $\sum_{n\leq x} q_k^{(e)}(n)$에 대한 점근적 공식을 도출한다. 이는 Sita Ramaiah와 Suryanarayana의 기법을 활용한다.