[논문 리뷰] On certain properties of the Weinstein functional on Riemannian manifolds

Mayukh Mukherjee|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 19.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초구형 공간 $ℝ^n$ 상에서 Weinstein 함수형의 성질을 조사하며, 이 함수형의 Supremum 값이 유클리드 공간 $ℝ^n$과 동일한 값을 가지지만, $ℝ^n$과 달리 Sobolev 공간 $H^1(ℝ^n)$ 내에서 이 최댓값이 도달되지 않는다는 것을 증명한다. 이 결과는 ©{CMMT}의 추측을 확인하며, 분수 라플라스 연산자 설정으로까지 확장되어 $ℝ^n$ 상에서 Gagliardo-Nirenberg 부등식의 극값에 관한 오랫동안 남아있던 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

We make a study of Weinstein functionals, first defined in ~\cite{W}, on the hyperbolic space $\mathbb{H}^n$. We are primarily interested in the existence of Weinstein functional maximisers, or, in other words, existence of extremal functions for the best constant of the Gagliardo-Nirenberg inequality. The main result is that the maximum value of the Weinstein functional on $\mathbb{H}^n$ is the same as that on $\mathbb{R}^n$ and the related fact that the maximum value of the Weinstein functional is not attained on $\mathbb{H}^n$, when maximisation is done in the Sobolev space $H^1(\mathbb{H}^n)$. This proves a conjecture made in ~\cite{CMMT} and also answers questions raised in several other papers (see, for example, ~\cite{B}). We also prove that a corresponding version of the conjecture will hold for the Weinstein functional with the fractional Laplacian as well.

연구 동기 및 목표

• 초구형 공간 $ℝ^n$ 상에서 Weinstein 함수형의 최대값 존재성을 조사한다.
• 유클리드 공간 $ℝ^n$ 상에서 Gagliardo-Nirenberg 부등식의 최적 상수값이 $H^1(ℝ^n)$ 내에서 도달되는지 여부를 규명한다.
• ©{CMMT}에서 제기한 초구형 공간 $ℝ^n$ 상에서 Weinstein 함수형 최대값의 도달 불가능성에 관한 추측을 검증한다.
• 분수 라플라스 연산자 설정으로의 분석을 확장하여, 이에 해당하는 추측의 버전이 성립함을 증명한다.

제안 방법

• Weinstein 함수형을 $L^p$-노름과 $H^1$-반노름을 통해 정의하고, $ℝ^n$ 상에서 분석한다.
• 변분 방법을 사용하여 $ℝ^n$ 상에서 Weinstein 함수형의 Supremum 값이 $ℝ^n$ 상에서의 값과 비교한다.
• 비유한 다양체 상에서 $H^1(ℝ^n)$ 내의 컴actness 결여를 연구하기 위해 농도-콤팩트성 원리를 적용한다.
• 함수형을 $ℝ^n$과 $ℝ^n$ 상에서 비교하기 위해 대칭화 및 재정렬 기법을 사용한다.
• 분수 소볼레브 공간과 관련된 Gagliardo-Nirenberg 부등식을 통해 결과를 분수 라플라스 연산자 설정으로 확장한다.
• 모aximizing 수열의 점점 가까워지는 행동을 분석함으로써 모순에 의한 도달 불가능성 증명을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초구형 공간 $ℝ^n$ 상에서 Weinstein 함수형의 최대값이 유클리드 공간 $ℝ^n$ 상에서의 최대값과 동일한가?
• RQ2 초구형 공간 상에서 Weinstein 함수형이 $H^1(ℝ^n)$ 내에서 Supremum을 도달하는가?
• RQ3 ©{CMMT}에서 제기한 초구형 공간 $ℝ^n$ 상에서 함수형 최대값의 도달 불가능성에 관한 추측은 참인가?
• RQ4 이 도달 불가능성 결과는 분수 라플라스 연산자 설정으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ5 $ℝ^n$ 상에서 Gagliardo-Nirenberg 부등식의 최적 상수값과 그 도달 가능성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 초구형 공간 $ℝ^n$ 상에서 Weinstein 함수형의 Supremum 값은 유클리드 공간 $ℝ^n$ 상에서의 값과 정확히 동일하다.
• 초구형 공간 상에서 Weinstein 함수형의 최대값은 Sobolev 공간 $H^1(ℝ^n)$ 내에서 도달되지 않는다.
• ©{CMMT}에서 제기한 초구형 공간 $ℝ^n$ 상에서 함수형 최대값의 도달 불가능성에 관한 추측이 확인된다.
• 분수 라플라스 연산자 설정에 대해, 이에 해당하는 추측의 버전이 성립한다.
• 도달 불가능성의 원인은 $ℝ^n$의 비유한성과 이 설정에서 Kondrachov 임베딩의 실패에 기인한다.
• 결과적으로, 동일한 Supremum 값에도 불구하고, $ℝ^n$과 $ℝ^n$ 상에서 함수형의 행동에 뚜렷한 대비가 존재함을 규명한다.