[논문 리뷰] On character varieties, sets of discrete characters, and non-zero degree maps

Michel Boileau, Steven Boyer|ArXiv.org|2007. 01. 14.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-표현의 특성다양체를 사용하여 3차원 다양체 간의 0이 아닌 차수의 사상에 대해 연구한다. 가상의 전사 사상이 소형 루프 다양체의 기본군 간에 존재할 경우, 그들의 특성다양체의 대수적 구조가 제약을 받으며, 이러한 준동형사상에 대한 사전적 경계가 유도된다. 주요 결과는 초월적 또는 기하학적으로 구조화된 다양체로의 0이 아닌 차수의 사상이 존재하지 않는 무한한 소수의 닫힘, 연결, 양면성 3차원 다양체의 무한한 가닥이 존재한다는 것이다. 이들 다양체는 호메오모르피즘을 통해만 사상이 가능하다.

ABSTRACT

In this paper we use character variety methods to study homomorphisms between the fundamental groups of 3-manifolds, in particular those induced by non-zero degree maps. A {\it knot manifold} is a compact, connected, irreducible, orientable 3-manifold whose boundary is an incompressible torus. A {\it virtual epimorphism} is a homomorphism whose image is of finite index in its range. We show that the existence of such homomorphisms places constraints on the algebraic decomposition of a knot manifold's $PSL_2(\mathbb C)$-character variety and consequently determine a priori bounds on the number of virtual epimorphisms between the fundamental groups of small knot manifolds with a fixed domain. In the second part of the paper we fix a small knot manifold $M$ and investigate various sets of characters of representations with discrete image in $PSL_2(\mathbb C)$. The topology of these sets is intimately related to the algebraic structure of the $PSL_2(\mathbb C)$-character variety of $M$ as well as dominations of manifolds by $M$ and its Dehn fillings. In particular, we apply our results to study families of non-zero degree maps $f_n: M(α_n) o V_n$ where $M(α_n)$ is the $α_n$-Dehn filling of $M$ and $V_n$ is either a hyperbolic manifold or $\widetilde{SL_2}$ manifold. We show that quite often, up to taking a subsequence, there is a knot manifold $V$, slopes $β_j$ on $\partial V$ such that $V_j \cong V(β_j)$, and a non-zero degree map $M o V$ which induces $f_j$ up to homotopy. The work of the first part of the paper is then applied to construct infinite families of small, closed, connected, orientable 3-manifolds which do not admit non-zero degree maps, other than homeomorphisms, to any hyperbolic manifold, or even manifolds with infinite fundamental groups.

연구 동기 및 목표

• 소형 루프 다양체의 기본군에 대한 0이 아닌 차수의 사상이 특성다양체 기법을 통해 어떤 제약을 가하는지 이해하기.
• 소형 루프 다양체의 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-특성다양체에서 이산적이고 토크션 없는 특성의 위상구조를 분석하기.
• 소형 루프 다양체가 0이 아닌 차수의 사상으로 다른 3차원 다양체, 특히 하이퍼볼릭 또는 $\widetilde{SL_2}$ 다양체를 지배할 수 있는 조건을 규명하기.
• 지배 관계 하에서 루프 다양체의 최소성 결과를 확립하여, 특정 다양체가 $\mathcal{H}$ 또는 $\mathcal{M}$ 내에서 호메오모르피즘이 아닌 다른 다양체를 가상으로 지배하지 않는다는 것을 보여주기.
• 하이퍼볼릭 또는 기하학적으로 구조화된 다양체로의 0이 아닌 차수의 사상이 존재하지 않는 닫힘, 연결, 양면성 3차원 다양체의 무한한 가닥이 존재함을 증명하기.

제안 방법

• 소형 루프 다양체의 기본군 표현을 분석하기 위해 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-특성다양체를 사용한다.
• 가상의 전사 조건을 적용하여, 특히 이산적이고 토크션 없는 표현에 대해 특성다양체의 대수적 분해를 제약한다.
• 이미지 군의 중심화자에서 정의된 굽힘 함수 $\beta_{(\rho_1,A)}$를 사용하여 상수성을 탐지함으로써 특성 행동의 강성(리기드리티)을 확인한다.
• $\rho(\Gamma_0)$가 아벨이지만 $\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2$가 아닌 경우를 분석하고, 추적 항등식을 사용하여 굽힘 함수가 상수일 조건을 규명한다.
• $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$ 내의 하위군인 $\mathcal{D}$ (대각), $\mathcal{P}$ (포물선), $\mathcal{T}_+$ (로도모르픽), $\mathcal{N}$ (정규화자)의 구조를 활용하여 표현을 분류한다.
• 소형 루프 다양체의 경우, 경계 이미지가 자명하거나 포물선일 경우에만 유한한 수의 특성이 존재하므로, 기울기를 기반으로 이산적 특성을 분류할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소형 루프 다양체의 기본군 간의 가상의 전사 사상이 그들의 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-특성다양체의 대수적 구조에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ2 굽힘 함수 $\beta_{(\rho_1,A)}$가 상수일 조건은 무엇이며, 이는 표현 $\rho$의 가역성 또는 공轭성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 어떤 소형, 닫힘, 양면성 3차원 다양체가 하이퍼볼릭 또는 기하학적으로 구조화된 다양체로의 0이 아닌 차수의 사상이 존재하지 않으며, 홈오모르피즘 외에는 존재하지 않는가?
• RQ4 이산적이고 토크션 없는 특성의 위상은 딜 레이어링과 목표 다양체 사이의 0이 아닌 차수의 사상 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 하이퍼볼릭 또는 기하학적으로 구조화된 다양체의 클래스에서 지배 관계 하에 최소성인 3차원 다양체의 무한한 가닥을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 소형 루프 다양체 $M$에 대해, $\rho(\pi_1(\partial M))$가 자명하거나 포물선일 경우에만 유한한 수의 표현 특성이 존재한다.
• 이산적이고 토크션 없는 특성 $\chi_\rho$에 대해, 유일한 기울기 $\alpha$가 존재하여 $\rho(\alpha) = \pm I$ 를 만족하며, 이는 $\rho$의 기울기를 정의한다.
• 굽힘 함수 $\beta_{(\rho_1,A)}$가 상수일 때이고 뿐만 아니라 $\rho(\Gamma_1) \subset \mathcal{D}$ 이고 $A = \pm \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ 이거나, $\rho(\Gamma_1) \subset \mathcal{T}_+$ 이고 $A \in \mathcal{T}_+$ 이면, 이는 $\mathcal{N}$ 으로의 가역성 또는 공轭성으로 이어진다.
• $\rho(\Gamma_0)$가 아벨이지만 $\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2$ 가 아닌 경우, 굽힘 함수의 상수성은 $\rho_1$ 과 $A$ 에 강력한 대수적 제약을 가한다.
• 하이퍼볼릭 또는 $\widetilde{SL_2}$ 다양체로의 0이 아닌 차수의 사상 $f_n: M(\alpha_n) \to V_n$ 이 존재할 경우, 특성다양체의 구조와 경계 표현의 이미지에 구조적 제약이 생긴다.
• 하이퍼볼릭 다양체 또는 $\mathcal{M}$ 내의 어떤 다양체로의 0이 아닌 차수의 사상이 존재하지 않는 소형, 닫힘, 연결, 양면성 3차원 다양체의 무한한 가닥이 존재한다. 이들 다양체는 홈오모르피즘을 통해만 사상이 가능하다.