[논문 리뷰] On Closed and Exact Grad-grad- and div-Div-Complexes, Corresponding Compact Embeddings for Tensor Rotations, and a Related Decomposition Result for Biharmonic Problems in 3D

Dirk Pauly, Walter Zulehner|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 19.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비표준 텐서 스오볼레프 공간의 헬름홀츠 유형 분해를 사용하여 3차원 이중형 문제를 세 번의 연속된 2차 경계값 문제로 분해한다. 주요 기여는 유계 강한 리프시츠 도메인에서 $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ 및 $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$ 복합체를 특성화함으로써 컴act 임bedding을 가능하게 하고, 일반적인 위상 구조를 가진 3차원에서의 이중형 문제를 위한 새로운 분해를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

It is shown that the first biharmonic boundary value problem on a topologically trivial domain in 3D is equivalent to three (consecutively to solve) second-order problems. This decomposition result is based on a Helmholtz-like decomposition of an involved non-standard Sobolev space of tensor fields and a proper characterization of the operator div-Div acting on this space. Similar results for biharmonic problems in 2D and their impact on the construction and analysis of finite element methods have been recently published by the second author. The discussion of the kernel of div-Div leads to (de Rham-like) closed and exact Hilbert complexes, the div-Div-complex and its adjoint the Grad-grad-complex, involving spaces of trace-free and symmetric tensor fields. For these tensor fields we show Helmholtz type decompositions and, most importantly, new compact embedding results. Almost all our results hold and are formulated for general bounded strong Lipschitz domains of arbitrary topology. There is no reasonable doubt that our results extend to strong Lipschitz domains in arbitrary dimensions.

연구 동기 및 목표

• 이중형 문제의 2차원 분해 결과를 임의의 위상 구조를 가진 도메인에 대해 3차원으로 확장한다.
• 대칭이면서 추적 자유인 텐서 장을 포함하는 $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ 및 $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$ 복합체를 특성화한다.
• 대칭 텐서의 스오볼레프 공간에서 텐서 회전 연산자의 컴팩트 임베딩 정리를 새롭게 수립한다.
• 이중형 문제에 관련된 대칭 텐서 장의 공간에 대해 헬름홀츠 유형 분해를 제공한다.
• 보조 장 $p$, $v$, $u$를 사용하여 이중형 방정식의 구성 가능한 블록 삼각형 해법 전략을 확립한다.

제안 방법

• 유계 강한 리프시츠 도메인에서 $\mathbb{R}^3$ 내의 대칭이자 추적 자유인 텐서 장을 포함하는 $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$-복합체와 그 쌍대 $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$-복합체를 도입한다.
• 비표준 스오볼레프 공간인 대칭 텐서 장에 대해 헬름홀츠 유형 분해를 적용하여 정확한 부분공간과 코정확한 부분공간으로 분리한다.
• $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ 연산자를 대칭 텐서 장에 적용하고, $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$-복합체를 통해 그 핵을 특성화한다.
• 관련 부분공간에서 강한 조건과 하한 조건을 증명함으로써 텐서 회전 연산자의 컴팩트 임베딩을 확립한다.
• 보조 장 $p$, $E$, $v$, $u$를 사용하여 이중형 문제에 대해 블록 삼각형 서식의 스테이드 포인트 시스템을 유도하고, 변분 분석을 통해 해의 존재성과 유일성을 입증한다.
• 직교 분해, 추적 자유 프로젝션, 'mathring' 기호로 표시된 자연 경계 조건을 포함한 함수해석학적 도구에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 이중형 문제는 2차원 경우와 유사하게 세 번의 연속된 2차 문제로 분해될 수 있는가?
• RQ2 임의의 위상 구조를 가진 일반적인 3차원 도메인에서 $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ 및 $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$ 복합체의 구조는 어떠한가?
• RQ3 대칭 텐서 장의 맥락에서 텐서 회전 연산자의 컴팩트 임베딩은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 $\boldsymbol{\operatorname{sym}\!\operatorname{Rot}}$ 연산자의 이중형 문제 분해에서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 보조 장 $p$, $v$, $u$는 삼각형 편미분방정식계를 통해 원래의 이중형 해 $u$와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 위상적으로 단순한 도메인에서의 첫 번째 이중형 경계값 문제는 $p$에 대한 파oisson 문제, $v$에 대한 선형 탄성 노이만 문제, $u$에 대한 파oisson 문제로 연속적으로 풀 수 있다.
• $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ 연산자의 핵은 대칭이자 추적 자유인 텐서 장을 포함하는 닫힘과 정확성을 갖는 힐베르트 복합체를 통해 특성화된다.
• 대칭 텐서 장의 공간에 대해 새로운 헬름홀츠 유형 분해가 수립되어 $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$ 및 $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ 연산자와 관련된 성분을 분리할 수 있게 되었다.
• 텐서 회전 연산자의 컴팩트 임베딩이 입증되었으며, 이는 유한요소법에서 수렴 분석에 필수적이다.
• 시스템은 잘 정의된 강성 조건과 하한 조건을 만족하는 $\boldsymbol{\operatorname{sym}\!\operatorname{Rot}}$ 이차형식에 의해 보장되는 블록 삼각형 스테이드 포인트 구조를 갖는다.
• 결과는 $\mathbb{R}^3$ 내의 일반적인 유계 강한 리프시츠 도메인으로 확장되며, $\mathbb{R}^N$ 으로 일반화될 것으로 기대된다.