[논문 리뷰] On closed rational functions in several variables

А. П. Петравчук, Oleksandr Iena|ArXiv.org|2007. 01. 21.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 6인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 여러 변수의 유리 함수가 닫혀 있음을 보장하는 충분조건을 설정한다. 즉, 그에 의해 생성된 부분체가 유리 함수체에서 대수적으로 닫혀져 있음을 의미한다. 이는 f와 g가 서로소이고 대수적으로 독립적이며, 적어도 하나가 기약임을 조건으로 하여 유리 함수 φ = f/g 가 닫혀 있음을 증명한다; 이는 동치로, αf + βg의 선형군에서 기약이 아닌 초곡면이 유한 개 뿐임을 의미한다.

ABSTRACT

Let k be an algebraically closed field of characteristic zero. An element F from k(x_1,...,x_n) is called a closed rational function if the subfield k(F) is algebraically closed in the field k(x_1,...,x_n). We prove that a rational function F=f/g is closed if f and g are algebraically independent and at least one of them is irreducible. We also show that the rational function F=f/g is closed if and only if the pencil af+bg contains only finitely many reducible hypersurfaces. Some sufficient conditions for a polynomial to be irreducible are given.

연구 동기 및 목표

• K(x₁,…,xₙ)에 속하는 유리 함수 φ가 닫혀 있음을 특성화하는 것, 즉 K(φ)가 K(x₁,…,xₙ)에서 대수적으로 닫혀져 있는 경우를 의미한다.
• 특히 f와 g가 서로소이고 대수적으로 독립적이며 적어도 하나가 기약일 경우, 유리 함수 φ = f/g 가 닫혀져 있는 데 필요한 충분조건을 제공하는 것.
• φ = f/g 의 닫힘성과 선형군 αf + βg 내에서 기약이 아닌 초곡면의 수가 유한한 것 사이의 동치성을 확립하는 것.
• 특히 기약 다항식들의 거듭제곱의 곱에 상수를 더한 다항식의 기약성에 대한 충분조건을 유도하는 것, 특히 f + λ 에서 f는 서로소이고 기약인 다항식들의 거듭제곱의 곱이다.

제안 방법

• dφ ∧ dψ 가 0이 되는 것을 통해 유리 함수들 간의 대수적 종속성을 특성화하기 위해 야코비 기준과 미분형식을 사용한다.
• tr.deg(K(φ,ψ)) = 1 이면 K(φ,ψ) = K(h) 가 되는 것을 보이기 위해 유리 함수체에 대한 고르당의 정리를 적용한다.
• 올라니에르의 다르부 다항식 결과를 활용하여 φ = f/g 의 닫힘성과 선형군 αf + βg 내에서 기약이 아닌 성분의 수의 유한성 사이의 연결 고리를 맺는다.
• 유일한 인수분해 성질을 갖는 다항식환의 인수분해 유형을 분석하여, f = F(h) 이고 deg F ≥ 2 이면 f 는 h 에 대한 선형형식의 곱으로 분해되어야 하며, 이는 기약성 조건 하에서 모순을 일으킨다.
• 프로젝티브 매개변수 (α:β) ∈ ℙ¹ 의 구조를 이용하여, 특히 서로 다른 선형형식을 통해 유리 함수가 복합함수로 표현될 수 있는 경우를 분석한다.
• 다항식환의 유일한 인수분해를 적용하여, 기약 다항식들의 거듭제곱의 곱이 다른 다항식의 거듭제곱이 되면, 그 지수들이 외부 다항식의 차수로 나누어져야 한다는 것을 보이며, 만약 gcd(m₁,…,mₖ) = 1 이면 이는 모순이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리 함수 φ = f/g ∈ K(x₁,…,xₙ) 가 닫혀져 있음, 즉 K(φ) 가 K(x₁,…,xₙ)에서 대수적으로 닫혀져 있음은 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ2 선형군 αf + βg 가 유한한 수의 기약이 아닌 초곡면만 포함하는 조건은 무엇이며, 이는 φ = f/g 의 닫힘성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 기본적으로 서로소이고 기약인 다항식들의 거듭제곱의 곱에 상수를 더한 다항식이 유한한 수의 상수를 제외한 나머지 모든 상수에 대해 기약인가?
• RQ4 유리 함수 φ = f/g 가 deg F ≥ 2 인 비선형 복합함수 F(ψ) 로 표현될 수 있는가? 그리고 이를 방지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• f 와 g 가 서로소이고 대수적으로 독립적이며, f 나 g 중 적어도 하나가 기약이면, 유리 함수 φ = f/g 는 닫혀져 있다.
• 유리 함수 φ = f/g 는 선형군 αf + βg 가 유한한 수의 기약이 아닌 초곡면만 포함할 때이고, 그 때에만 닫혀져 있다.
• p₁^{m₁}⋯pₖ^{mₖ} + λ 는 K 에서 유한한 수의 λ 를 제외한 나머지 모든 λ 에 대해 기약이다. 여기서 pᵢ 는 대수적으로 독립적이며 기약인 다항식이며, gcd(m₁,…,mₖ) = 1 이다.
• 유리 함수 φ = f/g 가 닫혀져 있지 않다면, deg F ≥ 2 인 어떤 F ∈ K(t) 와 ψ 를 사용하여 φ = F(ψ) 로 표현할 수 있으며, 이는 f 와 g 가 공통된 유리 함수 ψ 에 대한 선형형식의 곱으로 분해된다는 것을 의미한다.
• φ 에 대해 비선형 생성 함수 ψ 가 존재하면, 선형군 αf + βg 는 무한히 많은 기약이 아닌 초곡면을 포함한다.
• f 와 g 가 기약이면서 대수적으로 독립적이라면, φ = f/g 는 닫혀져 있으며, deg F ≥ 2 인 비자명한 복합함수 F(ψ) 로 φ 를 표현할 수 없다.