[논문 리뷰] On closedness under convolution roots related to an infinitely divisible distribution in the distribution class L(γ)

Hui Xu, Yuebao Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 06.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무한히 나누어지는 분포의 클래스 $\mathcal{L}(\gamma)$ 내에서 분포 클래스의 커플링 루트에 대한 닫힘성을 조사한다. $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 및 $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$가 커플링 루트에 대해 닫혀 있지 않음을 명시적인 반례를 구성하여 증명함으로써, Embrechts와 Goldie의 오랜 동안 남아 있던 추측을 이 클래스들에 대해 부정적으로 해결한다.

ABSTRACT

We consider questions related to the well-known conjecture due to Embrechts and Goldie on the closedness of different classes of heavy- and light-tailed distributions with respect to convolution roots. We show that the class L(γ)\cap OS is not closed under convolution roots related to an infinitely divisible distribution for any γ\ge0, i.e. we provide examples of infinitely divisible distributions belonging to this class such that the corresponding Levy spectral distribution does not. We also prove a similar statement for the class (L(γ)\cap OS)\ S(γ). In order to facilitate our analysis, we explore the structural properties of some of the classes of distributions, and study some properties of the well-known transformation from a heavy-tailed distribution to a light-tailed one.

연구 동기 및 목표

• 무한히 나누어지는 분포에 대해 분포 클래스의 커플링 루트에 대한 닫힘성에 관한 Embrechts와 Goldie의 추측을 해결하기 위해.
• $\gamma \geq 0$ 인 경우 클래스 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$가 커플링 루트에 대해 닫혀 있는지 확인하기 위해.
• 클래스 $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$가 커플링 루트에 대해 닫혀 있는지 검토하기 위해.
• 무한히 나누어지는 분포의 Lévy 스펙트럼 측도가 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 내에 있지만 동일한 클래스에 속하지 않는다는 것을 보여주는 명시적인 반례를 구성하기 위해.

제안 방법

• 조건 (4.6)을 위반하면서도 (4.7)을 만족시키기 위해 $x_i$와 $y_i$ 사이의 간격을 증가시키는 조각별 정의된 생존함수를 사용하여 꼬리가 두꺼운 분포 $F_0$를 구성하기 위해.
• 조각별로 일정한 밀도와 생존함수를 가진 분포 $F_1$을 정의하여 $F_1 \in \mathcal{L}$ 및 조건 (4.7)을 만족시키지만 조건 (4.6)은 만족시키지 못하게 하기 위해.
• 변환 $\overline{F_0}(x) = \overline{F_1}(x)\mathbf{1}(x < x_1) + \sum_{i=1}^\infty \left( \overline{F_1}(x_i)\mathbf{1}(x_i \leq x < y_i) + \overline{F_1}(x)\mathbf{1}(y_i \leq x < x_{i+1}) \right)$을 사용하여 $F_0$를 정의하고, $\overline{F_0}(y_n - 1)/\overline{F_0}(y_n) \to a > 1$이 되도록 하여 $F_0 \notin \mathcal{L}$임을 보장하기 위해.
• 조건 (4.6)을 만족하지 못하고 조건 (4.7)은 만족하는 $F_0$의 검증을 통해 두 조건이 서로 독립적임을 입증하기 위해.
• 조건 (4.6)을 만족하지 못하는 이유는 $f_1(x) = o(\overline{F_1}(x))$ 이기 때문이며, $F_1$은 (4.7)을 만족하고 $F_1 \in \mathcal{L}$임을 증명하기 위해.
• 지역 분포 클래스 $\mathcal{L}_{\text{loc}}$, $\mathcal{S}_{\text{loc}}$, $\mathcal{OS}_{\text{loc}}$, $\mathcal{OL}_{\text{loc}}$를 사용하여 추측의 지역 버전으로의 분석을 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 클래스가 어떤 $\gamma \geq 0$ 에 대해서도 커플링 루트에 대해 닫혀 있는가?
• RQ2 $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$ 클래스가 여전히 커플링 루트에 대해 닫혀 있는가?
• RQ3 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ 내의 분포가 동일한 클래스에 속하지 않는 Lévy 스펙트럼 측도를 가질 수 있는가?
• RQ4 조건 (4.6)과 (4.7)은 $\mathcal{L}(\gamma)$ 내 분포에 대해 논리적으로 독립적인가?
• RQ5 지역 버전의 Embrechts-Goldie 추측은 클래스 $(\mathcal{L}_{\text{loc}}\cap\mathcal{OS}_{\text{loc}})\setminus\mathcal{S}_{\text{loc}}$ 에 대해 성립하는가?

주요 결과

• 명시적인 무한히 나누어지는 분포를 구성함으로써, $\gamma \geq 0$ 인 모든 경우에 클래스 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$가 커플링 루트에 대해 닫혀 있지 않음을 입증하였다. 이 분포의 Lévy 스펙트럼 측도도 동일한 클래스에 속하지 않는다.
• 클래스 $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$ 역시 커플링 루트에 대해 닫혀 있지 않으며, 반례가 제시되었다.
• 조건 (4.6)과 (4.7)은 논리적으로 독립적이다: 분포는 하나의 조건은 만족하면서 다른 하나는 만족하지 않을 수 있으며, 이는 $F_0$와 $F_1$의 명시적 구성으로 입증되었다.
• 구성된 분포 $F_0$는 $\lim_{n\to\infty} \overline{F_0}(y_n - 1)/\overline{F_0}(y_n) = a > 1$을 만족함으로써 $F_0 \notin \mathcal{L}$임을 증명하며, 동시에 조건 (4.7)도 만족한다.
• 지역 클래스 $(\mathcal{L}_{\text{loc}}\cap\mathcal{OS}_{\text{loc}})\setminus\mathcal{S}_{\text{loc}}$는 커플링 루트에 대해 닫혀 있지 않으며, 이는 추측의 지역 버전에 대한 부정적인 결과를 확인한다.
• 결과적으로, 특정 분포 클래스에 대해 글로벌 및 지역 설정 모두에서 Embrechts-Goldie 추측에 대한 완전한 부정적 답변을 제공한다.