[논문 리뷰] On closures in semitopological inverse semigroups with continuous inversion

Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 06.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 연속적 역원을 갖는 반연속역반군에서 부분군, 순서집합, 반군 확장의 폐쇄를 조사한다. 이는 이 클래스에서 위상군이 H-폐쇄임과 동시에 컴act임이 서로 동치임을 보이며, 하우스도르프 선형 순서를 가진 순서집합은 이 위상반군 순서집합 클래스에서 H-폐쇄임과 동시에 H-폐쇄임이 서로 동치임을 보이고, 기저 반군이 H-폐쇄임과 동시에 H-폐쇄임이 서로 동치임을 보인다. 또한, 절대 H-폐쇄가 아닌 H-폐쇄인 반연속역반군 순서집합의 예도 구성한다.

ABSTRACT

We study the closures of subgroups, semilattices and different kinds of semigroup extensions in semitopological inverse semigroups with continuous inversion. In particularly we show that a topological group $G$ is $H$-closed in the class of semitopological inverse semigroups with continuous inversion if and only if $G$ is compact, a Hausdorff linearly ordered topological semilattice $E$ is $H$-closed in the class of semitopological semilattices if and only if $E$ is $H$-closed in the class of topological semilattices, and a topological Brandt $λ^0$-extension of $S$ is (absolutely) $H$-closed in the class of semitopological inverse semigroups with continuous inversion if and only if so is $S$. Also, we construct an example of an $H$-closed non-absolutely $H$-closed semitopological semilattice in the class of semitopological semilattices.

연구 동기 및 목표

• 연속적 역원을 갖는 반연속역반군에서 부분군, 순서집합, 반군 확장을 H-폐쇄인 것으로 특징짓는 것.
• 이 클래스에서 위상군이 H-폐쇄가 되기 위한 필요 및 충분조건을 규명하는 것.
• Brandt λ⁰-확장에서 H-폐쇄와 절대 H-폐쇄 사이의 관계를 조사하는 것.
• H-폐쇄이지만 절대 H-폐쇄가 아닌 반연속역반군 순서집합의 반례를 구성하는 것.

제안 방법

• 논문은 반연속역반군에서의 폐쇄를 분석하기 위해 위상수학적 및 반군 이론적 기법을 사용한다.
• 부분군 및 순서집합과 같은 하위구조에 H-폐쇄와 절대 H-폐쇄 개념을 적용한다.
• 반례의 구성은 새로운 원소들을 반군에 추가하고, 연산의 분리 연속성을 보장하기 위해 코피니트 위상 구조를 정의하는 방식이다.
• 증명은 모순에 기반하며, 밀도가 높은 진부분반군이 존재한다고 가정하고, H-폐쇄 조건에 위배되는 하우스도르프 반연속역반군을 구성한다.
• Brandt 반군에서의 편의적 위상에 관한 기존 결과 [18]를 활용하여 고유한 하우스도르프 편의적 위상의 존재를 확립한다.
• 반군의 부분집합 내 원소의 분포에 따라 경우를 나누어 위상적 모순을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적 역원을 갖는 반연속역반군의 클래스에서 위상군이 H-폐쇄가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 반연속역반군 순서집합의 클래스에서 하우스도르프 선형 순서 위상순서집합이 H-폐쇄가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 연속적 역원을 갖는 반연속역반군의 클래스에서 위상 Brandt λ⁰-확장이 H-폐쇄(또는 절대 H-폐쇄)가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 H-폐쇄이지만 절대 H-폐쇄가 아닌 반연속역반군 순서집합이 존재할 수 있는가?
• RQ5 반연속역반군에서 H-폐쇄를 보장하는 위상적 및 대수적 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 연속적 역원을 갖는 반연속역반군의 클래스에서 위상군은 H-폐쇄이기 위한 필요 및 충분조건이 컴팩트성임이 보여진다.
• 반연속역반군 순서집합의 클래스에서 하우스도르프 선형 순서 위상순서집합은 H-폐쇄이기 위한 필요 및 충분조건이 위상순서집합 클래스에서 H-폐쇄임이 보여진다.
• 연속적 역원을 갖는 반연속역반군의 클래스에서 위상 Brandt λ⁰-확장은 (절대) H-폐쇄이기 위한 필요 및 충분조건이 기저 반군이 H-폐쇄임이 보여진다.
• 반연속역반군 순서집합에서 H-폐쇄이지만 절대 H-폐쇄가 아닌 예가 구성되었다.
• 밀도가 높은 진부분반군이 존재한다고 가정할 경우, 위상적 및 대수적 구성에 의해 모순이 발생함을 보여, 폐쇄 성질이 확인된다.