[논문 리뷰] On cluster points of alternating projections

Heinz H. Bauschke, Dominikus Noll|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 10.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유클리드 평면에서 비볼록이고 닫힌 집합에 대한 교차 투영 방법이 비퇴화된 컴acts한 연속체를 클러스터 점의 집합으로 갖는 수열을 생성하는 명시적 예를 제시한다. 이는 집합들이 가산 무한합인 닫힌 볼록 집합의 경우 그러한 행동이 가능하지만, 유한합인 경우 불가능함을 증명하여, 비볼록 탐색 문제에서 클러스터 점의 성격에 관한 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Suppose that $A$ and $B$ are closed subsets of a Euclidean space such that $A\cap B eq\varnothing$, and we aim to find a point in this intersection with the help of the sequences $(a_n)_ nn$ and $(b_n)_ nn$ generated by the \emph{method of alternating projections}. It is well known that if $A$ and $B$ are convex, then $(a_n)_ nn$ and $(b_n)_ nn$ converge to some point in $A\cap B$. The situation in the nonconvex case is much more delicate. In 1990, Combettes and Trussell presented a dichotomy result that guarantees either convergence to a point in the intersection or a nondegenerate compact continuum as the set of cluster points. In this note, we construct two sets in the Euclidean plane illustrating the continuum case. The sets $A$ and $B$ can be chosen as countably infinite unions of closed convex sets. In contrast, we also show that such behaviour is impossible for finite unions.

연구 동기 및 목표

• R² 내에서 비볼록이고 닫힌 집합에 대해 교차 투영이 비퇴화된 컴acts한 연속체를 클러스터 점의 집합으로 갖는 명시적 예를 제시하는 것.
• 집합들이 닫힌 볼록 집합의 가산 무한합인 경우 그러한 연속체 행동이 가능함을 보여주는 것.
• 집합들이 비어 있지 않은 닫힌 볼록 집합의 유한합인 경우 연속체 케이스가 발생하지 않음을 증명하는 것.
• 이전에 Combettes와 Trussell이 제안한 비볼록 설정에서 교차 투영의 수렴 행동의 이분법을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 각도 α로 매개변수화된 엄격하게 감소하는 반경 함수 ρ(α) = 1 + exp(−α)를 사용하여 R² 내의 나선 곡선을 정의한다.
• 나선 상의 점들 간의 근접도를 제어하기 위해 거리 임계값 ε(α) = (ρ(α) − ρ(α + 2π))/2 를 도입한다.
• 연속된 점들이 정확히 ε(α_n) 간격으로 떨어지도록 나선 상에 점들의 수열 (x_n)을 구성함으로써 수렴 행동을 통제한다.
• 집합 A와 B를 수열의 번갈아나오는 점들과 단위원 S의 합집합으로 정의하여 닫힘과 비볼록 성질을 확보한다.
• 투영의 비확장성과 컴팩트성 추론을 사용하여 교차 투영에 의해 생성된 수열 (a_n)과 (b_n)이 S 위의 점으로 수렴함을 보인다.
• 고위상 원리와 거리 기반의 모순을 적용하여, 볼록 집합의 유한합에서는 비퇴화된 연속체 클러스터 점을 유도할 수 없음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비볼록 집합에 대해 교차 투영이 비퇴화된 컴acts한 연속체를 클러스터 점의 집합으로 갖는 명시적 예를 구성할 수 있는가?
• RQ2 집합들이 닫힌 볼록 집합의 가산 무한합인 경우 교차 투영에서 연속체 케이스가 가능한가?
• RQ3 집합들이 비어 있지 않은 닫힌 볼록 집합의 유한합인 경우 연속체 케이스를 배제할 수 있는가?
• RQ4 집합 A와 B의 구조에 어떤 조건이 적용되면 클러스터 점이 한 점인지 연속체인지가 결정되는가?

주요 결과

• 논문은 R² 내에서 각각 닫힌 볼록 집합의 가산 무한합인 두 개의 닫힌 비볼록 집합 A와 B를 구성하였으며, 교차 투영에 의해 생성된 수열의 클러스터 점이 비퇴화된 컴acts한 연속체(단위원 S)를 이룬다.
• 구성된 예에서 수열 (a_n)과 (b_n)은 단위원 S로 수렴하며, S는 정확히 클러스터 점의 집합이다.
• 이 구성은 집합들이 볼록 집합의 가산 무한합인 경우 비볼록 설정에서 연속체 케이스가 가능함을 보여준다.
• 논문은 A와 B가 비어 있지 않은 닫힌 볼록 집합의 유한합인 경우, 교차 투영 수열이 반드시 A ∩ B 내의 한 점으로 수렴함을 증명하여 연속체 클러스터 점의 존재를 배제한다.
• 증명은 투영의 비확장성과, 한 점이 포함되어 있지 않은 집합으로부터의 양의 거리 기반의 모순 추론에 의존한다.
• 결과는 Combettes와 Trussell이 제안한 이분법—즉, 수렴이 한 점으로 이루어지거나 비퇴화된 연속체로 이루어지거나—가 가산 합의 경우 실현 가능하지만, 유한합의 경우 그렇지 않음을 확인한다.