[논문 리뷰] On co-amenability for groups and von Neumann algebras

Nicolas Monod, Sorin Popa|ArXiv.org|2003. 01. 30.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 Eymard가 1972년에 제기한 오랜 숙제를 해결하며, 공-아메니타리함이 부분군으로 전이되지 않는다는 명시적 반례를 제시함으로써, 정규성을 갖는 경우조차도 이를 보장하지 못함을 보여준다. 또한 군에서의 공-아메니타리함과 von Neumann 대수에서의 공-아메니타리함 사이에 깊은 연관성을 확립하여, 군 설정에서의 공-아메니타리함이 중간 부분대수로 전이되지 않음을 입증하고, 중간 포함관계를 거쳐도 공-아메니타리함이 실패하는 타입 II₁ 인피니티 팩터의 예를 제공한다.

ABSTRACT

We first show that co-amenability does not pass to subgroups, answering a question asked by Eymard in 1972. We then address co-amenability for von Neumann algebras, describing notably how it relates to the former.

연구 동기 및 목표

• 군 이론에서 공-아메니타리함이 부분군으로 전이되는지 여부에 관해 1972년 Eymard가 제기한 질문을 해결하기 위해.
• 군에서의 공-아메니타리함과 von Neumann 대수에서의 공-아메니타리함 사이의 관계를 명확히 하기 위해.
• 공-아메니타리함이 중간 부분군이나 부분대수로 전이되지 않는 명시적 예를 구성하기 위해.
• 군 설정에서의 공-아메니타리함이 해당 군 von Neumann 대수 설정에서 공-아메니타리함을 이끌지 못함을 입증하기 위해.
• 특히 성질 (T) 또는 ICC 율을 갖는 경우조차도 중간 포함관계에서 공-아메니타리함이 실패하는 타입 II₁ 인피니티 팩터의 예를 제공하기 위해.

제안 방법

• 단순형 사상 $\vartheta: K \to K$ 를 사용하여 HNN 확장을 $G = K*_{\vartheta}$ 로 구성함으로써, $K$ 가 $G$ 에서는 공-아메니타리함이지만 $H_0 = t^{-1}Kt$ 에서는 아닐 수 있는 반례를 생성한다.
• 점 무게의 약한-* 극한인 $t^{-k}K$ 에서의 $\ell^\infty(G/K)$ 상에서의 $H$-불변 평균의 존재를 이용하여 $K$ 가 $G$ 에서 공-아메니타리함임을 증명한다.
• 제약 사상 $H^n_b(G,V) \to H^n_b(H,V)$ 의 단사성에 의해 공-아메니타리함을 특성화하는 유한 코호몰로지 기법을 적용한다. 여기서 $V$ 는 이중 바나흐 $G$-모듈이다.
• 기본 구성에 대한 노름이 1인 사영 $\Psi: \langle N,B\rangle \to N$ 의 존재를 통해 von Neumann 부분대수의 공-아메니타리함을 정의한다.
• 초구성 및 초유한 II₁ 대수 $R^\omega$ 를 사용하여 von Neumann 대수 설정에서의 공-아메니타리 포함관계의 예를 구축한다.
• Connes의 초구성 및 정규화 이론을 적용하여, $\mathcal{G}$ 가 비아메니타리 군을 포함할 경우 $R\vee R_\omega$ 가 $N = (R\vee R_\omega) \rtimes \mathcal{G}$ 에서 공-아메니타리함이 아님을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 $G$ 에서 부분군 $K$ 가 공-아메니타리함이면, 임의의 중간 부분군 $H$ 에서도 $K$ 가 공-아메니타리함인지 여부?
• RQ2 부분군이 중간 군에서 정규일지라도, 공-아메니타리함이 부분군으로 전이되지 않을 수 있는가?
• RQ3 군에서의 공-아메니타리함과 그에 대응하는 군 von Neumann 대수에서의 공-아메니타리함 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 공-아메니타리함이 $M$ 에서는 성립하지만 $N$ 에서는 성립하지 않는 타입 II₁ 인피니티 팩터의 포함관계 $N_0 \subset N \subset M$ 가 존재하는가?
• RQ5 특히 군이 성질 (T) 를 갖는 경우, 군 설정에서의 공-아메니타리함이 von Neumann 대수 설정에서 전이되지 않을 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $K \lhd H_0 < G$ 의 삼중쌍을 구성하여, $K$ 가 $G$ 에서는 공-아메니타리함이지만 $H_0$ 에서는 아님을 보여주며, Eymard의 1972년 질문에 대한 부정적 답변을 제시한다.
• 모든 군 $Q$ 에 대해, $K \lhd H_0 < G$ 인 삼중쌍이 존재하여, $K$ 는 $G$ 에서 공-아메니타리함이며 $H_0/K \cong Q$ 를 만족하며, $Q$ 가 유한 생성이면 $G$ 도 유한 생성이자 ICC 성질을 갖는다.
• 군 $G$ 는 $Q \wr \mathbb{Z}$ 로서 제한된 와이어드 프로덕트로 구성되며, $Q$ 가 이러한 성질을 갖는다면 $G$ 도 ICC, 순환 없음, 유한 표현 가능성을 갖는다.
• von Neumann 부분대수 $B$ 가 $N$ 에서 공-아메니타리함임은, 노름이 1인 사영 $\Psi: \langle N,B\rangle \to N$ 의 존재와 동치이다.
• 공-아메니타리함이 $M$ 에서는 성립하지만 $N$ 에서는 성립하지 않는 타입 II₁ 인피니티 팩터의 포함관계 $N_0 \subset N \subset M$ 가 존재한다. 이 경우 $N$ 이 $N_0$ 에 대해 상대적 성질 (T) 를 갖더라도 성립한다.
• $\mathcal{G}$ 가 비아메니타리 군(예: 성질 (T) 군) 을 포함할 경우, von Neumann 대수 $N = (R\vee R_\omega) \rtimes \mathcal{G}$ 는 $R\vee R_\omega$ 에 대해 공-아메니타리함이 아니다.