[논문 리뷰] On cobweb posets most relevant codings

A. K. Kwaśniewski, Maciej Dziemiańczuk|ArXiv.org|2008. 04. 10.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 26인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 F-기반 수 체계—F-코브웹 포스테트에서 유도된 혼합 기수법, 비표준 위치 표기법—를 도입하여 KoDAGs(이중 관계의 사슬을 나타내는 무방향 그래프)에 가장 관련성이 높은 코딩 체계로 제시한다. 이러한 체계는 무한한 초상자와 F-다항 계수를 통해 KoDAGs의 시각적 및 조합적 의미를 부여하며, 우먼 계산법과 조합적 층화를 통해 임의의 이중 관계 사슬을 분석하는 데 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

One considers here orderable acyclic digraphs named KoDAGs which represent the outmost general chains of dibicliques denoting thus the outmost general chains of binary relations. Because of this fact KoDAGs start to become an outstanding concept of nowadays investigation. We propose here examples of codings of KoDAGs looked upon as infinite hyper-boxes as well as chains of rectangular hyper-boxes in N^\infty. Neither of KoDAGs codings considered here is a poset isomorphism with Pi = . Nevertheless every example of coding supplies a new view on possible investigation of KoDAGs properties. The codes proposed here down are by now recognized as most relevant codes for practical purposes including visualization. More than that. Employing quite arbitrary sequences F=\{n_F\}_{n\geq 0} infinitely many new representations of natural numbers called base of F number system representations are introduced. These constitute mixed radix-type numeral systems. F base nonstandard positional numeral systems in which the numerical base varies from position to position have picturesque interpretation due to KoDAGs graphs and their correspondent posets which in turn are endowed on their own with combinatorial interpretation of uniquely assigned to KoDAGs F-nomial coefficients. The base of F number systems are used for KoDAGs coding and are interpreted as chain coordinatization in KoDAGs pictures as well as systems of infinite number of boxes sequences of F-varying containers capacity of subsequent boxes. Needless to say how crucial is this base of F number system for KoDAGs hence consequently for arbitrary chains of binary relations. New F based numeral systems are umbral base of F number systems in a sense to be explained in what follows.

연구 동기 및 목표

• 임의의 자연수 수열 F를 바탕으로 비표준 위치 표기법의 새로운 클래스—F-기반 수 체계—를 개발하는 것.
• F-기반 체계와 무한한 초상자 구조를 사용하여 KoDAGs(이중 관계의 사슬을 나타내는 무방향 그래프)에 대한 조합적이고 시각적인 코딩 프레임워크를 제공하는 것.
• 코브웹 포스테트의 맥락에서 F-기반 수 표현과 F-다항 계수 사이의 대응 관계를 수립하는 것.
• 등장관계가 필요하지 않은 코딩을 도입하여 포스테트 동형의 개념을 일반화하는 것.
• 변동 기수 표기법 기반의 좌표계를 통해 KoDAGs와 이중 관계 사슬의 실용적 시각화 및 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 수열 F에 의해 인덱싱된 수준 Φ_s를 가진 계층적 포스테트 Π = ⟨P, ≤⟩로 코브웹 포스테트를 정의하며, |Φ_s| = F_s이다.
• KoDAGs를 코브웹 포스테트의 하세 다이어그램으로 표현하며, 각 층 ⟨Φ_k → Φ_n⟩은 완전 이분 그래프 K_{F_k, F_{k+1}}로 구성된 방향 무방향 그래프(DAG)에 대응한다.
• 각 자릿수 위치에서 기수가 F_k로 변하는 혼합 기수법으로서의 F-기반 수 체계를 도입하여 자연수의 유일한 표현을 가능하게 한다.
• F-다항 계수를 카디널리티 측정값으로 사용하여 F-기반 표현과 KoDAG 층 내 최대 체인 사이의 전단사 관계를 수립한다.
• F-기반 체계를 N^∞ 내 좌표계로 해석하며, F에 의해 정의된 용량을 가진 상자들의 무한한 수열을 모델링한다.
• 우먼 계산법을 사용하여 F-다항 계수를 조합적으로 해석하고, 이를 KoDAGs와 그 부분 포스테트의 구조와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 이중 관계 사슬은 어떻게 KoDAGs와 F-기반 수 체계를 통해 체계적으로 코딩하고 시각화할 수 있는가?
• RQ2 KoDAG 층 내 최대 체인 맥락에서 F-다항 계수의 조합적 의미는 무엇인가?
• RQ3 F-기반 수 체계는 기존의 포스테트 동형에 비해 KoDAGs에 대해 왜 더 관련성이 높은 코딩 프레임워크를 제공하는가?
• RQ4 임의의 F-수열에서 어떻게 가변 기수 표기법을 구성할 수 있으며, 이들의 구조적 해석은 무한한 초상자 관점에서 어떻게 이루어지는가?
• RQ5 F-코브웹 적합 수열이 F-다항 계수가 잘 정의된 자연수임을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• F-기반 수 체계는 임의의 F-수열에서 유도된 혼합 기수법, 비표준 위치 표기법으로서 도입되며, 각 자릿수 위치에서 기수가 변하는 특징을 가진다.
• F-다항 계수 ${{n}\binom{k}}_{F} = \frac{n^{\bar{k}}_F}{k_F!}$ 는 코브웹 포스테트의 층 ⟨Φ_k → Φ_n⟩ 내 상호소외이면서 등용량인 최대 체의 수를 세는 데 사용된다.
• F-기반 체계는 KoDAGs의 좌표계를 제공하며, F-수열에 의해 결정된 용량을 가진 N^\flat 내 초상자들의 시퀀스로 시각화된다.
• KoDAGs와 포스테트 Π = ⟨P, ≤⟩는 동형이 아니지만, 제안된 코딩은 여전히 그들의 조합적 및 구조적 성질에 깊은 통찰을 제공한다.
• F-기반 체계는 F-다항 계수와 우먼 계산법을 통해 이중 관계 사슬의 그림자적이고 계산 가능한 의미를 제공한다.
• 모든 F-코브웹 적합 수열(여기서 F_0 = 1 이고 F_n ∈ ℕ)에 대해 F-다항 계수는 잘 정의된 자연수이며, 전체 코딩 프레임워크의 기초를 형성한다.