[논문 리뷰] On codimension 1 del Pezzo foliations on varieties with mild singularities

Carolina Araujo, Stéphane Druel|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가벼운 특이성을 가진 다양체로 Fano foliation 이론을 확장하며, 인덱스가 랭크에서 1을 뺀 codimension 1 del Pezzo foliation에 초점을 맞춘다. klt 및 정규성 조건 하에서, 이러한 foliation은 유리 사상에 의한 가중 투사 공간으로의 사상 또는 벡터장 foliation의 pullback를 통해 분류되며, vanishing 정리와 Atiyah 클래스를 이용해 고전 결과를 특이한 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we extend to the singular setting the theory of Fano foliations developed in our previous paper. A Q-Fano foliation on a complex projective variety X is a foliation F whose anti-canonical class is an ample Q-Cartier divisor. In the spirit of Kobayashi-Ochiai Theorem, we prove that under some conditions the index i of a Q-Fano foliation is bounded by the rank r of F, and classify the cases in which i=r. Next we consider Q-Fano foliations F for which i=r-1. These are called del Pezzo foliations. We classify codimension 1 del Pezzo foliations on mildly singular varieties.

연구 동기 및 목표

• klt 특이성을 포함한 복소 사영 다양체에 대해 Fano foliation 이론, 특히 del Pezzo foliation을 확장한다.
• Kobayashi-Ochiai 정리를 $\mathbb{Q}$-Fano foliation이 있는 특이 다양체의 설정으로 일반화한다.
• klt 다양체에서 codimension 2에서 정규인 $\mathscr{F}$에 대해, 앰플리티 및 인덱스 조건 하에서 codimension 1 del Pezzo foliation을 분류한다.
• Serre 조건과 국소 코hom로, 쌍대 foliation sheaf의 코homology 군에 대한 vanishing 결과를 수립한다.

제안 방법

• 일반화된 $\mathbb{Q}$-Fano foliation의 개념을 사용하며, 여기서 $-K_{\mathscr{F}}$는 $\mathbb{Q}$-Cartier 앰플리터이자 $-K_{\mathscr{F}} \sim_{\mathbb{Q}} i_{\mathscr{F}} H$ 를 만족하는 최대 유리수 $i_{\mathscr{F}}$를 인덱스로 정의한다.
• Kawamata-Viehweg vanishing 정리를 적용하여, $X$가 klt이고 $\mathscr{F}$가 codimension 2에서 정규일 경우 $h^1(X, \mathscr{O}_X(K_X) \otimes \mathscr{L}) = 0$ 를 보인다. 여기서 $\mathscr{L} = \det(\mathscr{F})$이다.
• Serre의 조건 $S_k$에 관한 Lemma 6.4를 사용하여, $\operatorname{codim}(X \setminus U) \geq 3$ 인 매끄러운 열린 부분집합 $U \subset X$에서 $h^1(U, \mathscr{Q}^*_{|U}) = h^1(X, \mathscr{Q}^*)$ 를 확보한다.
• 몫층 $\mathscr{Q} = T_X / \mathscr{F}$의 Atiyah 클래스 $at(\mathscr{Q})$를 사용해 적합성 분석을 수행하며, 국소 프레임 계산과 Lie 괄호 닫힘 조건을 통해 $\delta(at(\mathscr{Q})) = 0$ 를 보인다.
• 국소 코호몰로지의 스펙트럴 시퀀스를 적용하여, $\mathscr{G}$가 $S_k$를 만족하고 $\operatorname{codim}(X \setminus U) \geq k$일 경우 $H^i(X, \mathscr{G}) \simeq H^i(U, \mathscr{G}_{|U})$ 를 유도함으로써 코호몰로지 비교를 가능하게 한다.
• 모순을 유도하기 위해 $\mathscr{O}_X(k(K_{\mathscr{F}} + c_1(\mathscr{L}))) \simeq \mathscr{O}_X$ 이지만 $h^0(X, \Omega^q_X \otimes \mathscr{O}_X(-K_{\mathscr{F}} - c_1(\mathscr{L}))) \neq 0$ 임을 보여, Lemma 2.10에 위배됨을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 klt 다양체 $X$ 위의 $\mathbb{Q}$-Fano foliation $\mathscr{F}$의 인덱스 $i_{\mathscr{F}}$가 $i_{\mathscr{F}} \leq r$ 를 만족하는 조건은 무엇인가? 여기서 $r$은 $\mathscr{F}$의 랭크이다.
• RQ2 인덱스 $i_{\mathscr{F}} = r$ 가 성립하는 조건은 무엇이며, 이 경우 $X$ 위에 대응하는 기하적 구조는 무엇인가?
• RQ3 klt 다양체에서 codimension 2에서 정규인 경우에 대해, $i_{\mathscr{F}} = r - 1$ 인 codimension 1 del Pezzo foliation은 어떻게 분류되는가?
• RQ4 vanishing 정리와 Atiyah 클래스 기법은 특이 설정에서 앰플리티 반-표준 클래스의 존재를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 Kobayashi-Ochiai 정리는 $\mathbb{Q}$-Fano foliation이 있는 특이 다양체로 일반화될 수 있는가? 그리고 극한 경우는 무엇인가?

주요 결과

• 정규 사영 다양체 $X$ 위의 $\mathbb{Q}$-Fano foliation의 인덱스 $i_{\mathscr{F}}$는 $i_{\mathscr{F}} \leq r$ 를 만족하며, $-(K_X + \Delta) \sim_{\mathbb{Q}} i c_1(\mathscr{L})$ 조건 하에서 등호가 성립하는 것은 $(X, \mathscr{L}) \simeq (\mathbb{P}^n, \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(1))$ 이고 $\deg(\Delta) = n+1-i$ 일 때 뿐이다.
• 만약 $i_{\mathscr{F}} = r$ 이면, $X \simeq \mathbb{P}^n$ 이고 $\deg(\Delta) = 1$ 이거나, $\Delta = 0$ 이고 $X$는 $\mathbb{P}^{n+1}$ 안의 쌍곡선 곡면 $Q_n$ 이며 $\mathscr{L} \simeq \mathscr{O}_{Q_n}(1)$ 이다.
• klt 다양체에서 codimension 2에서 정규인 경우에 대해, codimension 1 del Pezzo foliation의 반-표준 클래스 $-K_{\mathscr{F}}$ 는 앰플리터일 수 없다. 이는 코호몰로지 vanishing과 Atiyah 클래스 분석을 통한 모순으로 증명된다.
• Kawamata-Viehweg vanishing 정리를 통해, $X$가 klt이고 $\mathscr{F}$가 codimension 2에서 정규일 경우 $h^1(X, \mathscr{O}_X(K_X) \otimes \mathscr{L}) = 0$ 가 성립함을 보였다.
• 몫층 $\mathscr{Q} = T_X / \mathscr{F}$의 Atiyah 클래스 $at(\mathscr{Q})$ 는 매끄러운 국소에서 0이며, 이는 $\delta(at(\mathscr{Q})) = 0$ 를 의미하고, 결과적으로 $K_X + c_1(\mathscr{L}) \equiv 0$ 이다.
• 모순은 $\mathscr{O}_X(k(K_{\mathscr{F}} + c_1(\mathscr{L}))) \simeq \mathscr{O}_X$ 이지만 $h^0(X, \Omega^q_X \otimes \mathscr{O}_X(-K_{\mathscr{F}} - c_1(\mathscr{L}))) \neq 0$ 임을 보여, Lemma 2.10에 위배됨을 의미한다.