[논문 리뷰] On cofinite subgroups of mapping class groups

Mustafa Korkmaz|ArXiv.org|2003. 07. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 종수 2 이하인 표면의 매핑 클래스 군의 코유한 부분군을 구성하여 임의의 순서 n인 자유군으로의 전상사상을 갖는다. 이는 첫 번째 코homology의 계수가 적어도 n임을 보이며, 두 번째 유계 cohomology의 차원이 연속체의 크기임을 보여준다. 또한 종수 2인 경우 이러한 부분군이 Torelli 군을 포함하지 않도록 선택할 수 있음을 보이며, 네 개의 구멍이 있는 구 또는 토러스의 매핑 클래스 군의 유한지수 부분군에 대한 자명하지 않은 자기동형사상이 전체 군으로 확장되지 않음을 구성한다.

ABSTRACT

For any positive integer $n$, we exhibit a cofinite subgroup $Γ_n$ of the mapping class group of a surface of genus at most two such that $Γ_n$ admits an epimorphism onto a free group of rank $n$. We conclude that $H^1(Γ_n;\Z)$ has rank at least $n$ and the dimension of the second bounded cohomology of each of these mapping class groups is the cardinality of the continuum. In the case of genus two, the groups $Γ_n$ can be chosen not to contain the Torelli group. Similarly for hyperelliptic mapping class groups. We also exhibit an automorphism of a subgroup of finite index in the mapping class group of a sphere with four punctures (or a torus) such that it is not the restriction of an endomorphism of the whole group.

연구 동기 및 목표

• 매핑 클래스 군의 코유한 부분군을 구성하여 임의로 큰 첫 번째 코homology 계수를 갖는다.
• 이 매핑 클래스 군의 두 번째 유계 cohomology의 차원이 연속체의 크기임을 보인다.
• 종수 2인 경우 이러한 부분군을 Torelli 군을 포함하지 않도록 선택할 수 있음을 보인다.
• 네 개의 구멍이 있는 구 또는 토러스의 매핑 클래스 군의 유한지수 부분군에 대해, 전체 군으로 확장되지 않는 자기동형사를 구성한다.

제안 방법

• Dehn 회전과 호의 구조를 사용하여 종수 ≤2 표면의 매핑 클래스 군 내에서 유한지수 부분군 Γₙ을 명시적으로 구성한다.
• n개의 구멍이 있는 구의 순수 매핑 클래스 군을 사용하여 짧은 정확수열을 통해 자유군 몫을 생성한다.
• 상향 기법을 적용하여 전체 군으로 확장될 수 없는 자기동형사를 부분군에서 정의한다.
• 호몰로지 대수를 사용하여 H¹(Γₙ; ℤ)와 유계 cohomology 차원을 분석한다.
• 초유계적 위상의 구조와 그 중심화자를 활용하여 종수 2에서 부분군을 정의한다.
• 호몰로지에서의 모순을 이용하여 순수 매핑 클래스 군에서의 일부 자기동형사상이 전체 매핑 클래스 군으로 확장될 수 없음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 2 표면의 매핑 클래스 군의 유한지수 부분군이 임의로 큰 첫 번째 코homology 계수를 가질 수 있는가?
• RQ2 Torelli 군을 포함하지 않는 이러한 부분군을 구성하는 것이 가능한가?
• RQ3 저종수 표면의 매핑 클래스 군의 두 번째 유계 cohomology의 차원은 얼마인가?
• RQ4 네 개의 구멍이 있는 구 또는 토러스의 매핑 클래스 군의 유한지수 부분군에 대한 자기동형사상이 전체 군으로 확장되지 않을 수 있는가?

주요 결과

• 모든 양의 정수 n에 대해, 종수 2 이하 표면의 매핑 클래스 군의 유한지수 부분군 Γₙ이 존재하여 자유군의 순서 n으로의 전상사상을 갖는다.
• 첫 번째 코homology H¹(Γₙ; ℤ)의 계수는 적어도 n이므로, 코homological rank는 임의로 크게 만들 수 있다.
• 매핑 클래스 군의 두 번째 유계 cohomology의 차원은 연속체의 기수와 같다.
• 종수 2의 경우, 구성된 부분군 Γₙ는 Torelli 군을 포함하지 않도록 선택할 수 있다.
• 네 개의 구멍이 있는 구 또는 토러스의 매핑 클래스 군에 대해, 전체 군의 어떤 준동형사상으로도 확장되지 않는 자기동형사를 갖는 유한지수 부분군이 존재한다.
• 이 구성은 순서 ≥2인 자유군에서의 자기동형사상의 비확장 가능성에 기반하며, 이는 매핑 클래스 군 부분군의 구성 요소로 사용된다.