[논문 리뷰] On comparing Zagreb indices

Aleksandar Ilić, Dragan Stevanović|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 21.

Graph theory and applications인용 수 66

한 줄 요약

이 논문은 모든 단순 연결 그래프에 대해 M1/n ≤ M2/m라는 추측을 조사하며, 정규 그래프와 분할 그래프에서는 성립함을 증명하지만, 2개 이상의 사이클을 가진 연결 그래프에서는 성립하지 않음을 보여준다. 저자들은 M1/n과 M2/m에 대해 날카운 상한과 하한을 확립하여, 등호가 성립하는 경우는 정규 그래프일 때뿐임을 보이며, 임의의 사이클 수를 가진 명시적 반례를 구성하여, 이 추측이 사이클 수나 최대 차수 등의 구조적 제약 조건이 있어야 성립함을 증명한다.

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a simple graph with $n = |V|$ vertices and $m = |E|$ edges. The first and second Zagreb indices are among the oldest and the most famous topological indices, defined as $M_1 = \sum_{i \in V} d_i^2$ and $M_2 = \sum_{(i, j) \in E} d_i d_j$, where $d_i$ denote the degree of vertex $i$. Recently proposed conjecture $M_1 / n \leqslant M_2 / m$ has been proven to hold for trees, unicyclic graphs and chemical graphs, while counterexamples were found for both connected and disconnected graphs. Our goal is twofold, both in favor of a conjecture and against it. Firstly, we show that the expressions $M_1/n$ and $M_2/m$ have the same lower and upper bounds, which attain equality for and only for regular graphs. We also establish sharp lower bound for variable first and second Zagreb indices. Secondly, we show that for any fixed number $k\geqslant 2$, there exists a connected graph with $k$ cycles for which $M_1/n>M_2/m$ holds, effectively showing that the conjecture cannot hold unless there exists some kind of limitation on the number of cycles or the maximum vertex degree in a graph. In particular, we show that the conjecture holds for subdivision graphs.

연구 동기 및 목표

• 일반 단순 그래프에 대해 추측 M1/n ≤ M2/m를 해결하기 위해.
• 이 추측이 성립하거나 실패하는 구조적 조건을 규명하기 위해.
• M1/n과 M2/m에 대해 날카운 하한과 상한을 확립하여, 등호가 정규 그래프일 때에만 성립함을 보여주기 위해.
• 변수 제그레브 지수의 행동을 조사하고 그 경계를 유도하기 위해.
• 임의의 수의 사이클을 가진 반례를 구성하여, 이 추측이 제약 조건 없이 일반적으로 성립하지 않음을 보여주기 위해.

제안 방법

• Cauchy-Schwarz 부등식을 적용하여 M1 ≥ 4m²/n의 날카운 하한을 유도하며, 등호가 성립하는 경우는 G가 정규 그래프일 때뿐임을 보임.
• 산술-기하 평균 부등식과 로그 함수에 대한 Jensen의 부등식을 사용하여 M2 ≥ 4m³/n²를 증명하며, 등호가 성립하는 경우는 G가 정규 그래프일 때뿐임을 보임.
• 최대 차수 Δ과 최소 차수 δ에 따라 M1/n과 M2/m의 상한을 유도하며, 등호가 성립하는 경우는 G가 정규 그래프일 때뿐임을 보임.
• a개의 별과 b개의 삼각형이 선형으로 연결된 그래프 가족 C(a,b)를 구성하여, b개의 사이클을 가진 반례를 생성함.
• M2·n − M1·m ≥ 0에 대한 a에 대한 이차 부등식을 분석하여 추측이 실패하는 조건을 규명함.
• 분할 그래프 S(G)에 대해 M1(S(G))/(n+m) ≤ M2(S(G))/(2m)를 증명함으로써 추측이 성립함을 보이며, 등호가 성립하는 경우는 G가 정규 그래프일 때뿐임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 연결 단순 그래프에 대해 부등식 M1/n ≤ M2/m가 성립하는가?
• RQ2 M1/n과 M2/m에 대한 날카운 하한과 상한은 무엇이며, 언제 성립하는가?
• RQ3 임의의 수의 사이클을 가진 추측의 반례를 구성할 수 있는가?
• RQ4 어떤 그래프 구조에서 추측 M1/n ≤ M2/m가 성립하는가?
• RQ5 임의의 그래프의 분할 그래프에 대해 추측이 성립하는가?

주요 결과

• M1/n과 M2/m는 동일한 날카운 하한 4m²/n²을 공유하며, 이는 그래프가 정규일 때에만 성립함.
• M1/n과 M2/m는 동일한 날카운 상한 ΔM1/(2m)을 공유하며, 이는 그래프가 정규일 때에만 성립함.
• 임의의 고정된 b ≥ 2에 대해, M1/n > M2/m를 만족하는 b개의 사이클을 가진 연결 그래프가 존재함을 보여, 제약 조건 없이 추측이 성립하지 않음을 반증함.
• 분할 그래프에 대해 추측 M1/n ≤ M2/m가 성립하며, 등호가 성립하는 경우는 원본 그래프가 정규일 때뿐임.
• 19개의 정점과 58개의 간선을 가진 반례 C(12,2)는 2개의 사이클을 가진 가장 작은 알려진 연결 반례임.
• 변수 제그레브 지수 λM1과 λM2는 λM1 ≥ n(2m/n)²λ 및 λM2 ≥ m(2m/n)²λ를 만족하며, 등호가 성립하는 경우는 그래프가 정규일 때뿐임.