[논문 리뷰] On completely regular and strongly regular ordered $\Gamma$-semigroups

Niovi Kehayopulu|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 16.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 순서화된 군집에서의 개념을 확장하여 완전 정규성 및 강한 정규성의 순서화된 Γ-군집에 대한 특성화를 수립한다. 강한 정규성의 po-Γ-군집을 도입하고, 완전 정규성이 이중 이상이 반순환임과 동치임을 증명하며, 강한 정규성이 왼쪽, 오른쪽 및 양쪽 정규성을 함의하며, 하위군집(MΓaΓM)의 구조와 강한 정규성 사이의 핵심 동치관계를 제시한다.

ABSTRACT

Our aim is to show the way we pass from the results of ordered semigroups (or semigroups) to ordered $\\Gamma$-semigroups (or $\\Gamma$-semigroups). The results of this note have been transferred from ordered semigroups. The concept of strongly regular $po$-$\\Gamma$-semigroups has been first introduced here and a characterization of strongly regular $po$-$\\Gamma$-semigroups is given.

연구 동기 및 목표

• 정의와 성질를 조정하여 순서화된 군집의 결과를 순서화된 Γ-군집으로 확장한다.
• 이 논문에서 소개된 새로운 클래스인 강한 정규성의 po-Γ-군집의 개념을 정의하고 조사한다.
• 이중 이상과 하위군집의 구조를 이용하여 po-Γ-군집에서 완전 정규성과 강한 정규성의 동치 특성화를 수립한다.
• po-Γ-군집에서 강한 정규성이 왼쪽, 오른쪽 및 양쪽 정규성을 함의함을 보여준다.
• 완전 정규성이 모든 이중 이상이 반순환임과 동치임을 보이며, 이는 생성된 이중 이상의 등식과 관련된다.

제안 방법

• po-Γ-군집에서의 이중 이상의 정의를 적응한다: 부분집합 B가 BΓMΓB ⊆ B를 만족하고 순서에 대해 닫혀 있으면서(만약 b ≤ a 이고 b ∈ M 이면 b ∈ B), B는 이중 이상이다.
• 생성된 이중 이상의 개념을 사용한다: B(A) = (A ∪ AΓAΓA]이며, A에 대해 B(a) = (a ∪ aΓaΓa].
• 핵심 조건을 적용한다: po-Γ-군집 M이 완전 정규이면, 모든 a ∈ M에 대해 a ≤ (aγa)μxρ(aξa)를 만족하는 x ∈ M 및 γ,μ,ρ,ξ ∈ Γ가 존재한다.
• 완전 정규성과 이중 이상이 반순환임 사이의 동치성을 확립한다: 만약 aΓa ⊆ B 이면 a ∈ B.
• 완전 정규성이 B(a) = B(aΓa) = B(aΓaΓMΓaΓa)를 모든 a ∈ M에 대해 만족함을 증명한다.
• 강한 정규성을 다음과 같이 도입한다: 어떤 x ∈ M 및 γ,μ ∈ Γ에 대해 a ≤ aγxμa 이고 aγx = xγa = xμa = aμx 이며, 그 함의를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 po-Γ-군집에 대한 강한 정규성의 적절한 일반화는 무엇이며, 정규성과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ2 po-Γ-군집에서의 이중 이상 개념을 이용하여 완전 정규성을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 완전 정규 po-Γ-군집에서 생성된 이중 이상 B(a), B(aΓa), B(aΓaΓMΓaΓa) 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 po-Γ-군집이 강한 정규성이 되기 위한 조건은 무엇이며, 하위군집(MΓaΓM)의 정규성과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 모든 이중 이상 B에 대해 B = (BΓB]이 성립하는 것이 po-Γ-군집에서 정규성을 함의하는 데 충분한가?

주요 결과

• po-Γ-군집 M이 완전 정규이면, 모든 a ∈ M에 대해 a ≤ (aγa)μxρ(aξa)를 만족하는 x ∈ M 및 γ,μ,ρ,ξ ∈ Γ가 존재한다.
• po-Γ-군집에서의 완전 정규성은 모든 이중 이상이 반순환임과 동치이다: 만약 aΓa ⊆ B 이면 a ∈ B.
• 완전 정규 po-Γ-군집에서 생성된 이중 이상은 모든 a ∈ M에 대해 B(a) = B(aΓa) = B(aΓaΓMΓaΓa)를 만족한다.
• 완전 정규 po-Γ-군집에서 모든 이중 이상 B는 B = (BΓB]를 만족하며, 반대로 모든 이중 이상에 대해 B = (BΓB]이면 M은 정규이다.
• po-Γ-군집 M이 강한 정규이면, 모든 a ∈ M에 대해 a ≤ aγxμa 및 aγx = xγa = xμa = aμx를 만족하는 x ∈ M 및 γ,μ ∈ Γ가 존재한다.
• 강한 정규성은 모든 a ∈ M에 대해 a ≤ aγxμa 및 aγx = xγa = xμa = aμx를 만족하는 x ∈ M 및 γ,μ ∈ Γ가 존재함을 함의한다.