[논문 리뷰] On completion of the cone of CP linear maps with respect to the energy-constrained diamond norm

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 25.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 연산자 $G$가 에너지 관측량을 나타내는 에너지 제약 다이아몬드 노름(ECD 노름)에 의해 유도된 완전히 양의(_CP_) 선형 사상의 원뿔의 완비성을 확립한다. 이는 $\sqrt{G}$-무한소 연산자를 사용한 스티네싱프 유사 표현을 갖는 부분원뿔과 일치하는 CP 사상 원뿔의 완비성을 증명하며, Kretschmann-Schlingemann-Werner 정리를 이 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

For a given positive operator $G$ we consider the cones of linear maps between Banach spaces of trace class operators characterized by the Stinespring-like representation with $\sqrt{G}$-bounded and $\sqrt{G}$-infinitesimal operators correspondingly. We prove the completeness of both cones w.r.t. the energy-constrained diamond norm induced by $G$ (as an energy observable) and the coincidence of the second cone with the completion of the cone of CP linear maps w.r.t. this norm. We show that the sets of quantum channels and quantum operations are complete w.r.t. the energy-constrained diamond norm for any energy observable $G$. Some properties of the maps belonging to the introduced cones are described. In particular, the corresponding generalization of the Kretschmann-Schlingemann-Werner theorem is obtained. We also give a nonconstructive description of the completion of the set of all Hermitian-preserving completely bounded linear maps w.r.t. the ECD norm.

연구 동기 및 목표

• 양의 연산자 $G$에 의해 유도된 에너지 제약 다이아몬드 노름(ECD 노름) 하에서 완전히 양의(_CP_) 선형 사상 원뿔의 완비성을 특성화하는 것.
• 두 개의 선형 사상 원뿔인 $\mathfrak{F}_G(A,B)$ (즉, $\sqrt{G}$-유계 연산자를 사용한)와 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ (즉, $\sqrt{G}$-무한소 연산자를 사용한)를 정의하고 분석하는 것.
• 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 CP 사상 원뿔의 완비성이 정확히 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$와 일치함을 증명하여 물리적 에너지 제약 조건 하에서의 위상적 닫힘을 보장하는 것.
• 모든 에너지 관측량 $G$에 대해 양자 채널과 양자 연산의 집합이 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 완비임을 확립하는 것.
• 스펙트럼 조건이 만족될 경우, 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 자기수반 보존 완비 유계 사상의 공간의 완비화를 비구성적 특성화하는 것.

제안 방법

• 에너지 제약 다이아몬드 노름(ECD 노름)을 도입하여, 추적 클래스 연산자 공간 간 선형 사상에 대한 거리 척도를 정의하며, 여기서 양의 연산자 $G$는 에너지 관측량으로 사용된다.
• 두 개의 원뿔을 정의한다: $\mathfrak{F}_G(A,B)$는 $\sqrt{G}$-유계 연산자를 사용한 스티네싱프 유사 표현을 통해, $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$는 $\sqrt{G}$-무한소 연산자를 사용한 표현을 통해 정의된다.
• 추적 클래스 공간에서의 연산자 노름 추정과 수렴 추론을 이용하여, $\mathfrak{F}_G(A,B)$와 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$가 모두 ECD 노름 하에서 완비임을 증명한다.
• 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 CP 사상 원뿔의 완비성이 정확히 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$임을 증명하며, 이는 후자가 전자의 위상적 닫힘임을 보여준다.
• Kraus 유형 표현과 양의 조건을 사용하여, $\mathfrak{F}_G(A,B)$에 속하는 사상에 대해 일반화된 Kretschmann-Schlingemann-Werner 정리를 유도한다.
• 스펙트럼 조건이 만족될 경우, 자기수반 보존 완비 유계 사상의 공간의 완비화 $\mathfrak{Y}_G(A,B)$에 대한 비구성적 묘사를 제공하며, 이 경우 그 양의 원뿔이 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$와 일치함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 연산자 $G$에 의해 유도된 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 완전히 양의 선형 사상 원뿔의 완비성은 무엇인가?
• RQ2 $\mathfrak{F}_G(A,B)$와 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ 원뿔은 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 원래의 CP 사상 원뿔과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 일반화된 Kretschmann-Schlingemann-Werner 정리는 $\mathfrak{F}_G(A,B)$에 속하는 사상으로까지 확장될 수 있으며, 이는 그들의 구조에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 모든 에너지 관측량 $G$에 대해 양자 채널 또는 양자 연산의 집합이 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 완비인가?
• RQ5 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 자기수반 보존 완비 유계 사상의 공간의 완비화는 어떤 구조를 가지며, 언제 그 양의 원뿔이 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$와 일치하는가?

주요 결과

• $\sqrt{G}$-유계 스티네싱프 연산자를 갖는 선형 사상 원뿔 $\mathfrak{F}_G(A,B)$는 $G$에 의해 유도된 ECD 노름 하에서 완비이다.
• $\sqrt{G}$-무한소 스티네싱프 연산자를 갖는 사상 원뿔 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$는 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 CP 사상 원뿔의 완비화이다.
• 모든 에너지 관측량 $G$에 대해 양자 채널과 양자 연산의 집합은 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 완비이다.
• $\mathfrak{F}_G(A,B)$에 속하는 모든 사상에 대해 일반화된 Kretschmann-Schlingemann-Werner 정리가 성립하며, 이는 블록 행렬 표현에서의 양의 조건을 통해 그들을 특성화한다.
• 에너지 제약 다이아몬드 노름 하에서 자기수반 보존 완비 유계 사상의 공간의 완비화 $\mathfrak{Y}_G(A,B)$의 양의 원뿔은 $G$의 이산 스펙트럼이 유한한 중복도를 갖는 경우 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$와 일치한다.
• 모든 $\mathfrak{Y}(A,B)$의 ECD 노름 완비화에 속하는 사상 $\Phi$에 대해 $\|\Phi\|_{\diamond,E}^G = o(E)$ as $E \to \infty$ 임을 보여, 에너지에 대해 비선형 성장이 임계이다.