[논문 리뷰] On compositions of d.c. functions and mappings

Libor Veselý, Zajicek, L.|ArXiv.org|2007. 06. 05.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한차원 노름선형공간에서 d.c. (델타-볼록) 함수의 복합에 대한 안정성을 조사한다. 하르트만의 고전적 복합 안정성 정리가 무한차원으로 일반화되지 않음을 보이며, 특히 외부 함수가 d.c.이고 내부 사상이 리프시츠 조절 함수를 가진 d.c.일 경우 복합이 여전히 d.c.임을 보여주는 충분조건을 확립한다. 핵심 결과는 무한차원에서 양의 d.c. 함수의 역수는 d.c.일 필요가 없다는 반례를 증명하는 것이다.

ABSTRACT

A d.c. (delta-convex) function on a normed linear space is a function representable as a difference of two continuous convex functions. We show that an infinite dimensional analogue of Hartman's theorem on stability of d.c. functions under compositions does not hold in general. However, we prove that it holds in some interesting particular cases. Our main results about compositions are proved in the more general context of d.c. mappings between normed linear spaces.

연구 동기 및 목표

• 하르트만의 d.c. 함수 복합 안정성 정리가 유한차원에서 무한차원 노름선형공간으로 확장되는가를 결정하는 것.
• 무한차원 환경에서 d.c. 사상의 복합이 여전히 d.c.가 되는 조건을 조사하는 것.
• 무한차원 공간에서 양의 d.c. 함수의 역수가 d.c.가 되지 않을 수 있음을 보여주는 반례를 구성하는 것.
• 특히 리프시츠 조절 함수를 포함하여 복합 안정성에 대한 충분조건을 규명함으로써 하르트만의 결과를 일반화하는 것.
• 이중선형 곱과 지수 복합을 포함한 더 일반적인 설정으로 d.c. 사상 이론을 확장하는 것.

제안 방법

• 제어 함수를 통한 d.c. 사상의 정의를 사용: $ F: A \to Y $ 는 모든 $ y^* \in Y^* $ 에 대해 $ \|y^*\| \leq 1 $ 를 만족할 때, $ y^* \circ F + f $ 가 볼록인 연속 볼록 함수 $ f $ 가 존재하면 d.c.이다.
• 하르트만의 방법을 수정하여, $ F: A \to \mathbb{R}^n $ 과 $ g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 이 d.c.이면, 열린 볼록 집합 $ A $ 에서 $ g \circ F $ 도 d.c.임을 증명한다.
• 함수형식 $ e_n^* $ 와 볼록 함수 $ g $ 를 사용하여 $ 2B_X $ 내에서 컴팩트 지지를 가진 d.c. 사상 $ \Phi $ 를 구성함으로써 복합의 행동을 제어한다.
• 각각의 공역이 $ B(v_k, \delta_k) $ 에서 정의된 서로 이산적인 지지를 가진 사상 $ F_k $ 를 이용한 파artition of unity 유사 구성법을 통해, $ A $ 위의 전역 d.c. 사상 $ F $ 를 구축한다.
• 레마 5.4 를 적용하여, $ \Phi(x) \in [0, y_n] $ 이 되도록 하는 d.c. 사상 $ \Phi $ 를 구성함으로써 이미지의 유계성과 복합의 제어를 확보한다.
• 제안 2.4 를 적용하여, 국소적으로 d.c. 이고 국소적으로 리프시츠 조절 함수를 가진 사상은 열린 볼록 집합에서 전역적으로 d.c.임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하르트만의 d.c. 함수 복합 정리는 무한차원 노름선형공간으로 일반화되는가?
• RQ2 d.c. 사상과 d.c. 실함수의 복합이 무한차원에서 여전히 d.c.로 유지되는가?
• RQ3 무한차원 공간에서 양의 d.c. 함수의 역수는 항상 d.c.인가?
• RQ4 d.c. 사상 $ F $ 와 $ g $ 의 복합 $ g \circ F $ 가 언제 d.c.로 보장되는가?
• RQ5 반례의 구성 요소로 쓸 수 있도록 지지와 이미지를 제어할 수 있는 d.c. 사상은 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적으로 무한차원에서 하르트만의 복합 정리의 해석은 성립하지 않는다: 무한차원 공간의 열린 볼록 집합에서 정의된 양의 d.c. 함수 중 그 역수가 d.c.가 되지 않는 것이 존재한다.
• $ F: A \to \mathbb{R}^n $ 과 $ g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ 이 d.c. 이며 $ A \subset X $ 가 열린 볼록 집합이면, 무한차원 공간에서도 $ g \circ F $ 는 d.c.이다.
• 무한차원 공간의 열린 볼록 집합에서 임의의 d.c. 함수 $ f $ 에 대해 $ \exp(f) $ 는 d.c.이다.
• 무한차원 공간의 열린 볼록 집합에서 임의의 d.c. 함수 $ f, h $ 에 대해 $ \frac{fh}{1 + f^2 + h^2} $ 는 d.c.이다.
• 반사적 바나흐 공간에서 연속 볼록 함수 $ f_1, f_2 $ 에 대해 $ f_2 $ 가 0에서 일정 거리 이상 떨어져 있으면 몫 $ f_1/f_2 $ 는 d.c.이다.
• 지지가 유계인 집합에서 무한히 커지는 사상 $ G: B \to Z $ 와 사상 $ F: A \to B $ 가 존재하여 $ G \circ F $ 가 $ A $ 에서 d.c.가 아니게 되며, 이는 복합 안정성의 실패를 보여준다.