[논문 리뷰] On computational issues for stability analysis of LPV systems using parameter dependent Lyapunov functions and LMIs

Leonardo Amaral Mozelli, Ricardo Adriano|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 02.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 매개변수변동(LPV) 시스템의 안정성 분석을 위한 계산 효율적인 방법을 제안한다. 매개변수에 의존하는 리아푸노프 함수(PDLF)와 선형행렬부등식(LMI)을 사용하며, 시간에 따라 변화하는 매개변수의 도함수 제약 조건을 기존의 전체 다각형 표현 대신 단체기반 표현으로 재구성함으로써 계산 복잡도를 지수적 증가에서 선형 증가로 감소시킨다. 이로 인해 기존 표준 PDLF 방법이 실패하는 고차원 시스템에 대해서도 해를 구할 수 있게 되었다.

ABSTRACT

This paper deals with the robust stability analysis of linear systems, subject to time-varying parameters. The Parameter Dependent Lyapunov Function are considered, assuming that the temporal derivative of the parameters are bounded. Some computational issues are discussed, which are present in Linear Matrix Inequality (LMI) based approaches and are exacerbated as the quantity of time-varying parameters increases. A possible solution to deal with issues is proposed by modifying the inclusion of the information regarding the time-derivative bounds. Complexity in the number of LMIs constraints can be reduced from very complex to linear. Numerical examples are provide to illustrate the advantages of the proposed methodology.

연구 동기 및 목표

• 많은 시간에 따라 변화하는 매개변수를 가진 LPV 시스템에서 PDLF 기반 LMI 조건의 계산 불가능성을 해결한다.
• 안정성 분석에 시간 도함수의 범위를 포함할 경우 발생하는 LMI 수의 지수적 증가를 완화한다.
• 기존 PDLF 접근법에 비해 확장 가능하면서도 합리적인 보수성을 유지하면서 계산 가능성을 크게 향상시킬 수 있는 대안을 제안한다.
• 이전에는 계산 부담으로 인해 실행이 불가능했던 고차원 또는 대규모 LPV 시스템의 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 시간에 따라 변화하는 선형 시스템의 강건 안정성 분석에서 보수성과 계산 효율성의 균형을 확보한다.

제안 방법

• 시간 도함수 제약 조건의 표준 다각형 표현 $H$를 단체 기반 행렬 $\bar{H}$로 대체하여, 동일한 물리적 범위를 더 단순한 기하학적 구조로 표현한다.
• 매개변수 도함수의 볼록 조합을 단체에 제약을 두어, 절대 도함수의 합이 $\delta$ 이하가 되도록 보장한다.
• 기존의 PDLF 기반 LMI 안정성 정리에서 원래의 $H$ 행렬을 $\bar{H}$로 대체함으로써 안정성 증명을 유지하면서도 복잡도를 감소시킨다.
• 새로운 제약 조건 집합을 $\bar{H}\dot{\theta} \leq \delta \mathbf{1}$로 표현하며, 이때 $\bar{H}$는 $r \times r$ 차원의 행렬이며 표준 단체 구조에서 유도된다.
• 새로운 제약 조건 집합이 원래의 $H$ 기반 집합을 포함하도록 보장함으로써 보수성은 유지되거나 略도 증가하지만 확장 가능한 계산이 가능해진다.
• 재구성된 LMI 조건을 수치 예제에 적용하고, 표준 PDLF 및 정류형 리아푸노프 함수 방법과의 해의 가능성과 계산 시간을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PDLF 기반 LMI 안정성 분석의 계산 복잡도는 시간에 따라 변화하는 매개변수의 수에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ2 시간 도함수 제약 조건의 기하학적 재구성이 LMI 수를 줄이되 보수성의 급격한 증가 없이 가능할까?
• RQ3 고차원 LPV 시스템에 대한 PDLF 기반 안정성 분석에서 계산 효율성과 보수성의 상호 간 상충 관계는 어떠한가?
• RQ4 표준 PDLF 방법이 실패하는 큰 정점 수(예: $r=16$)를 가진 시스템에 대해 제안된 방법이 안정성 분석을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ5 해의 가능성과 계산 시간 측면에서 제안된 방법은 정류형 리아푸노프 함수 및 표준 PDLF 접근법과 비교해 어떻게 성능을 내는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 LMI 제약 조건의 수를 $r$에 대해 지수적 증가에서 선형 증가로 감소시켜 계산 부담을 해결 가능한 수준으로 전환시켰다.
• 매개변수 수 $r=16$ 및 상태 차수 $n=8$인 시스템에서 표준 PDLF 방법은 $H$ 기반 제약 조건으로 인해 계산을 완료하지 못했지만, 제안된 $\bar{H}$ 기반 방법은 평균 19초 내에 해를 찾는 데 성공했다.
• 모든 테스트 구성(최대 $r=8$, $n=10$)에서 제안된 방법의 해 가능성 비율은 100%였으며, 표준 PDLF 방법과 동일한 성능를 보였고, 정류형 리아푸노프 함수 방법보다 뛰어난 성능를 보였다.
• 제안된 방법의 평균 계산 시간은 표준 PDLF 방법 대비 최대 18배까지 감소되었으며, 정류형 리아푸노프 함수 방법과 비교해 유사한 수준을 유지했다.
• 이 방법은 보수성과 계산 성능 사이의 유리한 균형을 유지하며, 대규모 또는 고차원 LPV 시스템의 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 단체 기반 $\bar{H}$ 행렬을 사용한 기하학적 재구성으로 인해 새로운 제약 조건 집합이 원래의 $H$ 기반 집합을 포함하게 되어 안정성 보장을 유지하면서도 확장성 향상이 가능하다.