[논문 리뷰] On Computing the Shadows and Slices of Polytopes

Hans Raj Tiwary|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 25.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 직교 방향으로 다면체를 투영하는 데 필요한 계산 복잡도를 조사하며, 대부분의 투영 변형이 투영 방향이 임의일 경우 정점 열거(VE-complete) 또는 NP-난이도이지만, 비퇴화된 방향의 경우 투영의 면들을 출력에 민감한 다항식 시간 내에 열거할 수 있음을 보여준다. 이는 일반적인 조건 하에서 효율적인 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study the complexity of computing the projection of an arbitrary $d$-polytope along $k$ orthogonal vectors for various input and output forms. We show that if $d$ and $k$ are part of the input (i.e. not a constant) and we are interested in output-sensitive algorithms, then in most forms the problem is equivalent to enumerating vertices of polytopes, except in two where it is NP-hard. In two other forms the problem is trivial. We also review the complexity of computing projections when the projection directions are in some sense non-degenerate. For full-dimensional polytopes containing origin in the interior, projection is an operation dual to intersecting the polytope with a suitable linear subspace and so the results in this paper can be dualized by interchanging vertices with facets and projection with intersection. To compare the complexity of projection and vertex enumeration, we define new complexity classes based on the complexity of Vertex Enumeration.

연구 동기 및 목표

• 다양한 입력 및 출력 표현 방식 하에서 다면체의 투영을 계산하는 데 필요한 계산 복잡도를 분류하는 것.
• 다면체 투영과 정점 열거(VE) 문제 간의 관계를 규명하는 것.
• 특히 비퇴화된 투영 방향일 경우 문제의 다항식 시간 내 계산이 가능한 조건을 규명하는 것.
• 정점 열거의 난이도에 기반해 새로운 복잡도 클래스—VE-완전, VE-난이도, VE-간편—을 정의하고 적용하는 것.
• 투영 방향이 비퇴화일 경우 투영의 면들을 출력에 민감한 다항식 시간 내에 계산하는 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 입력 및 출력 크기를 모두 고려한 출력에 민감한 복잡도 분석을 통해 알고리즘의 성능을 평가한다.
• 기존의 난이도가 알려진 문제들로부터의 축소를 통해 투영 문제를 정점 열거(VE) 문제로 환원하거나, NP-난이도임을 증명한다.
• 기하학적 이중성 적용: 다면체가 내부에 원점을 포함할 경우, 다면체의 투영은 선형 부분공간과의 교차와 대응된다.
• 선형 프로그래밍을 활용해 다면체의 (d−2)-차원 면이 이미지에서 가장자리로 투영되는지 여부를 판단한다. 이는 면의 법선 벡터의 볼록 조합에 기반한다.
• 레미마 7을 도입하여, 특정 볼록 hull이 마지막 k개 성분이 0인 벡터를 포함하는지 여부를 검사함으로써 (d−2)-차원 면이 투영에서 가장자리로 매핑되는지 판단한다.
• 레미마 8을 활용해, 투영에서 가장자리를 이루는 두 면의 법선을, 계수의 타당 영역 위에서 선형 프로그래밍을 풀어 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d-다면체를 k개의 직교 방향으로 정사영할 때, 그 정점이나 면을 계산하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 다면체 투영의 복잡도는 정점 열거(VE) 문제와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 투영 방향에 어떤 조건이 성립할 경우 문제를 출력에 민감한 다항식 시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ4 입력이 H-다면체이고 방향이 비퇴화일 경우, 투영의 면 구조를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 다면체 이론에서 투영과 교차 연산 간의 이중성은 복잡도 분석에 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 투영 방향이 임의일 경우, H-다면체의 면이나 정점을 계산하는 것은 NP-난이도이다.
• V-다면체의 정점 투영은 투영과 중복 제거를 통해 출력에 민감한 다항식 시간 내에 해결 가능하다.
• 투영 방향이 비퇴화일 경우, H-다면체의 투영 면은 출력에 민감한 다항식 시간 내에 열거할 수 있다.
• 비퇴화된 방향으로 H-다면체의 정점 투영을 계산하는 문제는 여전히 VE-난이도이지만, NP-난이도는 아니다.
• HV-다면체의 경우, 비퇴화된 투영은 투영의 정점과 면을 모두 출력에 민감한 다항식 시간 내에 열거할 수 있다.
• 임의의 투영 방향에 따른 투영의 복잡도는 두 가지 특수한 경우를 제외하고는 항상 VE-완전 또는 NP-난이도이다.