[논문 리뷰] On conditional expectations of finite index

Michael Frank, Eberhard Kirchberg|ArXiv.org|1998. 04. 15.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 27인용 수 42

한 줄 요약

이 논문은 C*-대수에서 조건부 기대에 대한 유한 지수의 존재성과 지도 $K\cdot E - \mathrm{id}_A$의 양성 및 완전 양성 간의 동치성을 확립하며, $K(E) \leq L(E) \leq K(E)\cdot[K(E)]$ 를 증명한다. 여기서 $[\cdot]$ 는 정수 부분을 의미한다. 이는 Pimsner-Popa, Watatani, 그리고 Baillet-Denizeau-Havet 접근법을 통합함으로써 문헌의 빈도를 메우며, 유한 지수가 상대적 중심과 W*-분해에 대한 구조적 통제를 암시함을 보여준다.

ABSTRACT

For a conditional expectation E on a (unital) C*-algebra A there exists a real number K>=1 such that the mapping (K.E-id_A) is positive if and only if there exists a real number L>=1 such that the mapping (L.E-id_A) is completely positive, among other equivalent conditions. The estimate min(K) <= min(L) <= min(K).[min(K)] is valid, where [.] denotes the integer part of a real number. As a consequence the notion of a 'conditional expectation of finite index' is identified with that class of conditional expectations, which extends and completes results of M. Pimsner, S. Popa; M. Baillet, Y. Denizeau, J.-F. Havet; Y. Watatani, and others. Situations for which the index value and the Jones' tower exist are described in the general setting. In particular, the Jones' tower always exists in the W*-case and for Ind(E) in E(A) in the C*-case. Furthermore, normal conditional expectations of finite index commute with the general W*-projections to their finite, infinite, discrete and continuous type I, type II_1, type II_\infty and type III parts, i.e. the respective projections in the centers of the initial and the image W*-algebra coincide. We give an interpretation of our result in terms of non-commutative topology and indicate some dimension estimation formulae and an inequality.

연구 동기 및 목표

• 유한 지수를 정의하는 데 있어 양성과 완전 양성 간의 격차를 해결하기 위해.
• Pimsner-Popa, Watatani, 그리고 Baillet-Denizeau-Havet의 프레임워크를 통합하고 확장하기 위해.
• 모든 $a \in A$ 에 대해 $K\cdot E - \mathrm{id}_A$ 가 양성인 최소 $K$ 가 상대적 중심과 W*-분해의 구조를 제어함을 증명하기 위해.
• 유한 지수를 가진 정규 조건부 기대가 W*-대수의 표준 유형(유형 I, II, III)을 유지함을 증명하기 위해.
• 유한 지수가 $K(E) \in \{1\} \cup [2,\infty)$ 를 암시하며, $K(E) = 1$ 이면 $E = \mathrm{id}_A$ 라는 조건을 증명하기 위해.

제안 방법

• 정의: $K(E) = \inf\{K \geq 1 : K\cdot E - \mathrm{id}_A \text{ 는 양성이다\}}$ 및 $L(E) = \inf\{L \geq 1 : L\cdot E - \mathrm{id}_A \text{ 는 완전 양성이다\}}$.
• 세 조건의 동치성을 증명: (i) $K(E) < \infty$, (ii) $L(E) < \infty$, (iii) $E$ 가 Pimsner-Popa 의미에서 유한 지수를 가짐.
• Kadison의 양성 지ap에 대한 정리로, 자기수반인 $a$ 에 대해 $0 \leq (E(a) - a)^2 \leq (K(E) - 1)(E(a^2) - E(a)^2)$ 를 유도.
• C*-대수의 구조 이론과 힐베르트 C*-모듈의 이론을 적용하여, $K(E) < \infty$ 이면 $A$ 가 $B$-모듈로서 유한 생성임을 보임.
• 중심과 상대적 중심 $N' \cap M$ 을 분석하여, $\dim(N' \cap M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(\mathrm{Z}(N))$ 의 경계를 도출.
• 최대 가환 C*-부분대수와 프로젝션의 스펙트럼 성질을 활용하여 차원 추정: $\dim(M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(N)^2$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지역적 조건부 기대의 유한 지수 정의에서 지도 $K\cdot E - \mathrm{id}_A$ 의 양성과 완전 양성 간 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ2 지역적 조건부 기대의 유한 지수 정의에서 $K\cdot E - \mathrm{id}_A$ 가 양성이 되는 최소 $K(E)$ 와 $L\cdot E - \mathrm{id}_A$ 가 완전 양성이 되는 최소 $L(E)$ 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 특히 $\mathrm{Ind}(E) \in E(A)$ 일 때, 존스 타워가 C*-대수 설정에서 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 정규 조건부 기대가 유한 지수를 가질 경우, 표준 W*-분해(유형 I, II, III)와의 상호작용은 어떻게 되는가?
• RQ5 유한 지수가 상대적 중심 $N' \cap M$ 과 $M$ 및 $N$ 의 중심에 어떤 구조적 제약을 가하는가?

주요 결과

• 최소 $K(E)$ 와 $L(E)$ 는 $K(E) \leq L(E) \leq K(E) \cdot [K(E)]$ 를 만족하며, 여기서 $[\cdot]$ 는 정수 부분을 의미한다.
• 지수 $K(E)$ 가 유한하여 $K(E)\cdot E - \mathrm{id}_A$ 가 양성임을 만족하면, $\dim(N' \cap M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(\mathrm{Z}(N))$ 이 성립한다.
• 유한 차원인 $N$ 에 대해 $\dim(M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(N)^2$ 이며, $M$ 과 $N$ 이 가환일 경우 $\dim(M) \leq K(E) \cdot \dim(N)$ 이다.
• $a \in A$ 가 자기수반일 경우, 모든 $a$ 에 대해 $0 \leq (E(a) - a)^2 \leq (K(E) - 1)(E(a^2) - E(a)^2)$ 이 성립하며, 등호 조건은 $E(a) = a$ 를 특징짓는다.
• A의 프로젝션 $p$ 는 $E(p) = p$ 이다. 만약 $p \in B$ 이면, 그렇지 않으면 $E(p)$ 는 $]0,1[$ 내의 스펙트럼 값을 가진다.
• $K(E) = 1$ 이 되는 것은 $E = \mathrm{id}_A$ 와 동치이며, $K(E) \in \{1\} \cup [2,\infty)$ 이며, $[2,\infty)$ 의 모든 값은 예시를 통해 실현 가능하다.