[논문 리뷰] On conformal maps from multiply connected domains onto lemniscatic domains

Olivier Sète, Jörg Liesen|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 08.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 37인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중 연결 영역에서 레미니스크 도메인으로의 등각 사상에 대한 일반적인 구성 원리를 제시한다—다중 연결 집합으로의 리만 사상 정리의 일반화이다. 단순 연결된 전이 영역의 리만 사상과 블라시케 곱 및 모비우스 변환을 조합하여, 반경 슬릿 도메인과 두 원판 도메인에 대한 레미니스크 사상의 명시적 구성이 이루어지며, 이는 이러한 사상에 대한 첫 번째 해석적 예시를 제공하고, 파버–월쉬 다항식의 정의를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study conformal maps from multiply connected domains in the extended complex plane onto lemniscatic domains. Walsh proved the existence of such maps in 1956 and thus obtained a direct generalization of the Riemann mapping theorem to multiply connected domains. For polynomial pre-images of simply connected sets we derive a construction principle for Walsh's conformal map in terms of the Riemann map for the simply connected set. Moreover, we explicitly construct examples of Walsh's conformal map for certain radial slit domains and circular domains.

연구 동기 및 목표

• 다중 연결 영역으로의 리만 사상 정리를 레미니스크 도메인을 표준 형태로 사용하여 일반화하기.
• 이전에는 존재가 증명되었을 뿐이었던 레미니스크 도메인으로의 등각 사상에 대한 구축 방법을 제공하기.
• 반경 슬릿 도메인과 원형 도메인에 대한 레미니스크 사상의 명시적 예를 도출하여 문헌의 빈도를 메우기.
• 다중 성분을 가진 컴act 집합에 대한 파버–월쉬 다항식의 구성 가능성을 보장하여 고전적 다항식 근사 이론을 확장하기.
• 레미니스크 사상에 의한 로그 용적과 그린 함수의 수치 계산 지원하기.

제안 방법

• 구성은 단순 연결 전이 영역의 리만 사상과 모비우스 변환 및 블라시케 곱의 조합을 통해 이루어지며, 이는 레미니스크 도메인으로의 사상으로 이어진다.
• 반경 슬릿 도메인의 경우, 슬릿의 외부에서 원판의 외부로의 등각 사상이 적용된 후, 주우코프스키 유형의 변환을 통해 레미니스크로의 변환이 이루어진다.
• 두 동일한 원판의 경우, 외부 영역을 대칭적인 슬릿을 가진 영역으로 모비우스 변환하여 매핑한 후, 유리 함수를 적용하여 레미니스크 형태로 도달한다.
• 정규화 조건 Φ(∞) = ∞ 및 Φ′(∞) = 1은 스케일링과 대칭성에 의해 확보되며, 이는 무한대에서의 로렌트 전개에 상수항이 없음을 보장한다.
• 레미니스크 도메인은 {w : |U(w)| > μ}로 정의되며, 여기서 U(w) = ∏(w − aj)^mj 이고 ∑mj = 1이며, μ > 0는 보완 집합의 로그 용적이 μ가 되도록 선택된다.
• 이 방법은 등각 사상으로 원환대에 매핑한 후 유리 함수와의 복합을 통해 임의의 이중 연결 도메인으로 일반화된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 존재 증명을 넘어서, 다중 연결 영역에서 레미니스크 도메인으로의 등각 사상에 대한 구축 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 레미니스크 사상은 반경 슬릿 도메인과 원형 도메인과 같은 특정 도메인에 대해 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 레미니스크 사상은 컴 pact 집합의 보완에 대한 로그 용적과 그린 함수를 계산하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 대칭성과 정규화가 Φ(∞) = ∞ 및 Φ′(∞) = 1 조건을 충족시키는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 기존의 원환대로의 등각 사상에 기반하여, 임의의 이중 연결 도메인에 대한 레미니스크 사상은 어떻게 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 n개의 반경 슬릿 외부에 대한 첫 번째 명시적 해석적 레미니스크 등각 사상의 구성이 이루어지며, 이는 리만 사상과 블라시케 곱의 복합을 통해 유도된다.
• 두 동일한 원판의 외부에 대한 명시적 레미니스크 사상이 구성되었으며, 결과적으로 레미니스크 도메인은 |U(w)| > μ로 정의되며, 여기서 U(w)는 두 개의 극을 가진 유리 함수이다.
• 구성된 사상은 정규화 조건 Φ(∞) = ∞ 및 Φ′(∞) = 1를 충족하며, 이는 무한대에서의 로렌트 전개에 상수항이 없음을 보장한다.
• 컴 pact 집합 E = C ∓ K의 로그 용적은 레미니스크 도메인 정의에서의 매개변수 μ로 주어지며, 이는 직접적인 용적 계산을 가능하게 한다.
• 도메인 K에 대한 그린 함수는 gK(w) = log|U(w)| − log μ로 명시적으로 주어지며, 이는 레미니스크 사상으로부터 직접 접근 가능하다.
• 이 방법은 등각 사상으로 원환대로 매핑한 후 유리 함수와의 복합을 통해 임의의 이중 연결 도메인으로 일반화되며, 동일한 정규화 조건을 가진 레미니스크 사상이 도출된다.