[논문 리뷰] On conjugacy in regular epigroups

Ganna Kudryavtseva|ArXiv.org|2006. 05. 27.

semigroups and automata theory참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 정규 에피군에서의 전치 관계를 특징짓는 포괄적인 공액 기준을 수립한다. 이는 각 원소의 거듭제곱이 부분군에 속하는 반군, 즉 에피군에서의 $G$-공액을 통한 공액의 특성화에 기반한다. 기존의 공액 기준에 대한 통합된 증명을 제공하고, 전체 전단사 반군, 선형 유사체, 그리고 유한성 조건이 적용된 부분 자동 전단사 변환에 대한 새로운 기준을 도출한다. 또한 ${\mathcal{ISA}}(X)$가 에피군이 아니라는 것을 증명함으로써, 이에 대한 이전의 공액 기준 주장이 잘못되었음을 밝힌다.

ABSTRACT

Let $S$ be a semigroup. The elements $a,b\in S$ are called primarily conjugate if $a=xy$ and $b=yx$ for certain $x,y\in S$. The relation of conjugacy is defined as the transitive closure of the relation of primary conjugacy. In the case when $S$ is a monoid, denote by $G$ the group of units of $S$. Then the relation of $G$-conjugacy is defined by $a\sim_G b \iff a=g^{-1}bg$ for certain $g\in G$. We establish the structure of conjugacy classes for regular epigroups (i.e. semigroups such that some power of each element lies in a subgroup). As a corollary we obtain a criterion of conjugacy in terms of $G$-conjugacy for factorizable inverse epigroups. We show that our general conjugacy criteria easily lead to known and new conjugacy criteria for some specific semigroups, among which are the full transformation semigroup and the full inverse symmetric semigroup over a finite set, the linear analogues of these semigroups and the semigroup of finitary partial automatic transformations over a finite alphabet.

연구 동기 및 목표

• 정규 에피군에서 각 원소의 거듭제곱이 부분군에 속하는 조건에서 공액류의 구조적 특성화를 수립하는 것.
• 요소의 $\mathcal{D}$-클래스에 관련된 $G$-공액을 사용하여 인버스 에피군에서의 공액 기준을 제시하고, 기존 결과를 일반화하는 것.
• 전형적인 반군, 예를 들어 전체 전단사 반군 및 그 선형 유사체에 대한 공액 기준의 증명을 통합하고 단순화하는 것.
• ${\mathcal{ISA}}(X)$의 잘못된 공액 기준을 수정하기 위해, 이 반군이 에피군이 아니라는 것을 증명함으로써, 주요 정리의 적용 범위를 초과함을 밝히는 것.

제안 방법

• 그린의 관계와 $\mathcal{D}$-클래스의 구조를 이용하여, 군에 속하는 원소와 그들의 $\mathcal{H}$-클래스의 행동을 분석한다.
• 두 군 원소가 공액이 되기 위한 필요충분조건이 $G$-공액임을 증명하며, 그린의 관계에 의해 유도되는 $\mathcal{H}$-클래스 간의 동형사상에 기반한다.
• 임의의 원소 $f$에 대해, $f$의 공액성은 $fe_f$의 $G$-공액성에 의해 결정됨을 보여주는 축소 기법을 도입한다. 여기서 $e_f$는 $f$의 $\mathcal{D}$-클래스와 관련된 아이디포텐트이다.
• 주요 기준을 특정 반군에 적용하기 위해, 그들의 단위군과 아이디포텐트 구조가 $G$-공액 축소에 필요한 조건을 만족하는지 확인한다.
• 유한 오토마타를 사용한 반례를 구성하여, $f_{{\mathcal{A}},q_0}$ 가 군에 속하지 않음을 보여주며, ${\mathcal{ISA}}(X)$ 가 에피군이 아님을 증명한다.
• 증명은 오토마타 작용 하에서 단어의 궤도를 분석함으로써 수행되며, 이는 비한정적인 체인 길이를 보이며, 이는 레마 11에 의해 군에 속하지 않음을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 에피군에서 공액류의 구조는 $G$-공액 측면에서 어떻게 특징지어질 수 있는가?
• RQ2 요소의 $\mathcal{D}$-클래스와 관련된 $G$-공액을 사용하여, 인버스 에피군에서의 공액을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 전체 전단사 반군 $\mathcal{T}(X)$, ${\mathcal{ISA}}(X)$ 및 그 유한성 변형체에 대한 기존의 공액 기준들이 주요 정리로부터 통일적으로 유도될 수 있는가?
• RQ4 ${\mathcal{ISA}}(X)$는 유한 알파벳 위에서의 부분 자동 전단사 변환의 반군인데, 이는 에피군인가? 그리고 이는 공액 분류에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 에피군이 아닌 구조가 공액 관계에 미치는 영향은 무엇인가? 특히 군 원소를 포함하지 않는 공액류의 존재 여부에 대해 설명하라.

주요 결과

• 논문은 정규 에피군에서 두 군에 속하는 원소가 공액이 되기 위한 필요충분조건이 그에 대응하는 군 원소가 $G$-공액이 되는 것임을 증명하며, 이는 구조적 공액 기준을 제공한다.
• 요소의 $\mathcal{D}$-클래스와 관련된 아이디포텐트 $e_f$를 사용하여, 인버스 에피군에서 두 원소 $f$와 $g$가 공액이 되기 위한 필요충분조건은 $fe_f$와 $ge_g$가 $G$-공액이 되는 것이다.
• 유한성 조건이 적용된 ${\mathcal{ISA}}(X)$에 대한 공액 기준은 다음과 같이 설정된다: $f \sim g$ iff $fe_f$와 $ge_g$는 $Fin{\mathcal{SA}}(X)$-공액이다.
• 유한성 조건이 적용된 자동 변환 반군 $Fin{\mathcal{A}}(X)$ 에 대해서도 동일한 기준이 성립한다: $f \sim g$ iff $\overline{fe_f}$와 $\overline{ge_g}$는 $Fin{\mathcal{SA}}(X)$-공액이다.
• 논문은 두 글자 알파벳 위에서 유한 오토마타를 구성하여, 이에 의해 유도된 부분 전단사 $f_{{\mathcal{A}},q_0}$ 가 비한정적인 체인 길이를 가지며, 이는 군에 속하지 않음을 보여준다.
• 결과적으로 ${\mathcal{ISA}}(X)$ 는 에피군이 아니며, 군 원소를 포함하지 않는 공액류가 존재한다. 이는 [10]에서의 이전 주장이 잘못되었음을 의미하며, 그에서 발표된 공액 기준 역시 실패함을 의미한다.