[논문 리뷰] On constructing complete permutation polynomials over finite fields of even characteristic

Baofeng Wu, Dongdai Lin|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 16.

Coding theory and cryptography참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 짝수 특성의 유한체에서 완전 순열 다항식(CPP)의 구조를 상대적 추적 함수와 선형 다항식에 기반한 재귀적 방법을 사용하여 일반화한다. 또한 기존의 알려진 CPP들의 복합 역함수를 계산하여 새로운 CPP 클래스를 도출하며, F_{2^m}의 홀수 차수 확장체에서 알려진 CPP 집합을 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, a construction of complete permutation polynomials over finite fields of even characteristic proposed by Tu et al. recently is generalized in a recursive manner. Besides, several classes of complete permutation polynomials are derived by computing compositional inverses of known ones.

연구 동기 및 목표

• Tu 등(2013)의 논문에서 알려진 것 이외의 짝수 특성 유한체에서 완전 순열 다항식(CPP)의 구성 방법을 일반화하는 것.
• 상대적 추적 함수와 선형 다항식을 사용하여 F_{2^{nm}} 확장체에서 CPP를 재귀적으로 구성하는 방법을 개발하는 것.
• 기존의 단항식 및 삼항식 CPP의 복합 역함수를 계산하여 새로운 CPP 클래스를 도출하는 것.
• 구성된 CPP의 복합 역함수에 대한 명시적 공식을 제공함으로써 암호학 및 코드 이론 분야에서의 적용 가능성을 높이는 것.

제안 방법

• Tu 등(2013)의 정리 1.2를 일반화하여, F_{2^{3m}}에서의 삼항식 F(x) = x^{2^{2m}+1} + x^{2^m+1} + vx 를 F_{2^{nm}}에서의 F(x) = x(L(tr(x)) + u tr(x) + u x) + v x 로 확장한다. 여기서 n은 홀수이다.
• 상대적 추적 함수 tr: F_{2^{nm}} → F_{2^m} 를 사용하고, F(x) = xL(tr(x)) + u x tr(x) + u x^2 + v x 를 구성한다. 여기서 L(x)는 선형 다항식이다.
• 재귀적 프레임워크를 적용한다: 만약 xL(x) + v x 가 F_{2^m}에서 CPP이면, F(x) 는 F_{2^{nm}}에서 CPP가 된다. 여기서 n은 홀수이다.
• Wu와 Liu(2013)의 기법을 활용하여 구성된 CPP의 복합 역함수를 계산하고, 명시적 역함수 공식을 도출한다.
• 라그랑주 보간법과 대수적 변환을 통해 tr(x)의 값에 따라 경우를 나누어 역함수를 유도하고, 추적 조건 하에서 거듭제곱 합의 항등식을 활용한다.
• 완전 순열 다항식의 복합 역함수 역시 완전 순열 다항식임을 증명하여, 기존의 알려진 CPP들로부터 새로운 클래스를 생성할 수 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정리 1.2에서의 완전 순열 다항식의 구성 방법을 F_{2^m}의 임의의 홀수 차수 확장에 일반화할 수 있는가?
• RQ2 짝수 특성 유한체에서 완전 순열 다항식의 복합 역함수를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 추적 함수와 선형 다항식을 사용하여 F_{2^m}에서의 CPP로부터 F_{2^{nm}}에서의 CPP를 구성할 수 있는 재귀적 구조는 무엇인가?
• RQ4 기존의 CPP들로부터 역함수 계산을 통해 새로운 CPP 클래스를 체계적으로 도출할 수 있는가?
• RQ5 구성된 다항식이 여전히 완전 순열 다항식으로 남기 위한 매개변수(v, u, m, n 등)에 대한 필수 및 필요조건은 무엇인가?

주요 결과

• xL(x) + v x 가 F_{2^m}에서 CPP이고 v ∈ F_{2^m} \{0,1} 이면, F(x) = x(L(tr(x)) + u tr(x) + u x) + v x 는 F_{2^{nm}}에서 완전 순열 다항식이다. 여기서 n은 홀수이다.
• Wu와 Liu(2013)의 기법을 활용하여 구성된 CPP의 복합 역함수를 명시적으로 결정하였으며, 거듭제곱 합과 추적 함수를 포함하는 폐쇄형 표현식을 도출하였다.
• 특수한 경우 F(x) = x(tr_{m}^{nm}(x) + x) + v x 에 대해, 이 구성은 정리 1.2를 모든 홀수 n으로 일반화하며, F_{2^{3m}}에서의 알려진 클래스를 F_{2^{nm}}로 확장한다.
• 다항식 F(x)의 역함수는 tr(x)의 값에 따라 세 경우로 나누어 라그랑주 보간법을 통해 표현되었고, [13, 보조정리 3.5]의 항등식을 활용하여 단순화되었다.
• 이 방법은 하위체에서의 알려진 CPP들을 업스케일링하여 F_{2^{nm}}에서 새로운 재귀적 CPP 클래스를 생성하며, 이러한 다항식의 알려진 가족을 크게 확장한다.
• 열린 문제로 제기됨: 2^e 차수의 거듭제곱인 확장도가 되는 F_{2^{2^e}}에서의 뿌리가 있는 확장체에서 완전 순열 다항식을 구성하는 것.