[논문 리뷰] On continuous functions definable in expansions of the ordered real additive group

Philipp Hieronymi, Erik Walsberg|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 10.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순서가 주어진 실수加법군의 확장에서 정의 가능한 연속 함수의 구조를 조사한다. 모든 이러한 함수들이 조밀한 열린 집합에서 C²이거나, 모든 C² 함수들이 애फ인이거나, 모든 연속 함수들이 정의 가능할 경우를 고려하며, NTP₂ 또는 이중 순서 산술 해석이 없는 조건 하에서는 첫 번째 경우가 지배적이며, C¹ 함수가 존재하면 모든 연속 함수의 정의 가능성을 유도할 수 있다.

ABSTRACT

Let $\mathcal R$ be an expansion of the ordered real additive group. Then one of the following holds: either every continuous function $[0,1] o \mathbb R$ definable in $\mathcal R$ is $C^2$ on an open dense subset of $[0,1]$, or every $C^2$ function $[0,1] o \mathbb R$ definable in $\mathcal R$ is affine, or every continuous function $[0,1] o \mathbb R$ is definable in $\mathcal R$. If $\mathcal R$ is NTP$_{2}$ or more generally does not interpret a model of the monadic second order theory of one successor, the first case holds. It is due to Marker, Peterzil, and Pillay that whenever $\mathcal R$ defines a $C^2$ function $[0,1] o \mathbb R$ that is not affine, it also defines an ordered field on some open interval whose ordering coincides with the usual ordering on $\mathbb R$. Assuming $\mathcal R$ does not interpret second-order arithmetic, we show that the last statement holds when $C^2$ is replaced by $C^1$.

연구 동기 및 목표

• 순서가 주어진 실수 가법군의 확장에서 정의 가능한 연속 함수의 가능한 구조를 분류하는 것.
• 전체 연속 함수가 정의 가능해지는 모델 이론적 조건을 규명하는 것.
• 정의 가능성과 모델 이론적 순수성의 맥락에서 기존의 C² 결과를 C¹ 함수로 확장하는 것.
• NTP₂와 이중 순서 산술 해석의 부재가 정의 가능한 함수 행동을 통제하는 데서 수행하는 역할를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 순서가 주어진 실수 가법군의 확장의 모델 이론적 성질 분석.
• Marker, Peterzil, Pillay의 결과를 활용하여 비애फ인 C² 함수가 존재할 경우 정의 가능한 순서체가 존재함을 밝힘.
• NTP₂ 이론을 적용하여 정의 가능한 함수 유형의 가능성을 제한함.
• 이중 순서 산술 해석이 없는 경우, C¹ 함수가 존재하면 모든 연속 함수가 정의 가능해짐을 증명함.
• 정의 가능성 전이 기법을 활용하여 C¹ 함수가 전체 연속 함수의 정의 가능성을 유도함을 보임.
• 비애फ인 C² 함수가 정의 가능한 순서체를 유도함을 이용하고, 추가적인 모델 이론적 가정 하에 이를 C¹로 확장함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서가 주어진 실수 가법군의 확장에서 C¹ 함수의 정의 가능성이 [0,1]에서 모든 연속 함수의 정의 가능성을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 NTP₂ 또는 이중 순서 산술 해석의 부재는 정의 가능한 연속 함수의 정규성과 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이러한 확장에서 모든 연속 함수의 정의 가능성을 유도하기 위해 필요한 최소한의 매끄러움 조건(예: C¹ 대비 C²)은 무엇인가?
• RQ4 확장 내에 비애फ인 C² 함수가 존재하면, 어떤 구간에서 정의 가능한 순서체가 존재하도록 유도할 수 있는가?
• RQ5 순서가 주어진 실수 가법군의 확장에서 정의 가능한 연속 함수를 지배하는 삼분법은 무엇인가?

주요 결과

• 순서가 주어진 실수 가법군의 확장이 [0,1]에서 비애फ인 C² 함수를 정의하면, 표준 순서를 갖는 어떤 열린 구간에서 순서체도 정의한다.
• NTP₂ 확장이거나 이중 순서 산술 이론의 단항 이차 이론을 해석하지 않는 확장에서는, [0,1]에서 정의 가능한 모든 연속 함수가 조밀한 열린 부분집합에서 C²이다.
• 구조가 이중 순서 산술을 해석하지 않는다고 가정할 경우, [0,1]에서 모든 C¹ 함수의 정의 가능성이 모든 연속 함수의 정의 가능성을 유도한다.
• 정의 가능한 연속 함수의 삼분법이 성립한다: 또는 모든 함수들이 조밀한 열린 집합에서 C²이거나, 모든 C² 함수들이 애फ인이거나, 모든 연속 함수들이 정의 가능하다.
• 더 강력한 모델 이론적 가정 하에서 기존의 C² 기반 결론을 C¹ 함수로 확장하였으며, 순수성 조건이 함께 있을 경우 C¹이 전체 정의 가능성을 유도하는 데 충분함을 보였다.