[논문 리뷰] On Controllability and Persistency of Excitation in Data-Driven Control: Extensions of Willems' Fundamental Lemma

Yue Yu, Shahriar Talebi외 4명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 05.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Willems의 기본 레미를 데이터 기반 제어에 확장하면서 고전적인 전순가능성 및 고차수 지속적 자극 조건을 완화한다. 시스템의 초기 상태가 가용 가능한 제어 가능 부분공간, 관측 불가능 부분공간, 그리고 데이터에 의존하는 부분공간의 합에 속해 있을 경우, 궤적은 측정된 데이터로 매개변수화될 수 있으며, 지속적 자극의 필요 차수는 $n+L$에서 $\delta_{\text{min}}+L$로 감소한다. 여기서 $\delta_{\text{min}}$는 시스템 행렬 $A$의 최소다항식의 차수이다. 이는 전순가능하지 않은 시스템에 대해서도 데이터 기반 예측 제어를 가능하게 하며, 다중 에이전트 시스템에서 데이터 요구량을 크게 줄인다.

ABSTRACT

Willems' fundamental lemma asserts that all trajectories of a linear time-invariant system can be obtained from a finite number of measured ones, assuming that controllability and a persistency of excitation condition hold. We show that these two conditions can be relaxed. First, we prove that the controllability condition can be replaced by a condition on the controllable subspace, unobservable subspace, and a certain subspace associated with the measured trajectories. Second, we prove that the persistency of excitation requirement can be relaxed if the degree of a certain minimal polynomial is tightly bounded. Our results show that data-driven predictive control using online data is equivalent to model predictive control, even for uncontrollable systems. Moreover, our results significantly reduce the amount of data needed in identifying homogeneous multi-agent systems.

연구 동기 및 목표

• Willems의 기본 레미에서 요구하는 전순가능성 및 고차수 지속적 자극 조건이 데이터 기반 궤적 매개변수화에 필수적인지 조사한다.
• 모든 대응 궤적을 측정된 입력-출력 궤적의 선형 조합으로 표현할 수 있는 초기 상태의 최소 부분공간을 규명한다.
• 특히 대규모 또는 다중 에이전트 시스템에서 데이터 기반 제어에 필요한 지속적 자극의 차수를 낮춘다.
• 전순가능하지 않은 시스템에서도 데이터 기반 예측 제어와 모델 기반 예측 제어 간의 등가성을 확립한다.

제안 방법

• 일반화된 부분공간 조건을 도입: 제어 가능 부분공간 $\mathcal{R}$, 관측 불가능 부분공간 $\mathcal{O}$, 그리고 데이터에 의존하는 부분공간 $\mathcal{K}[x_0^1, \dots, x_0^\tau]$의 합에 속한 초기 상태를 가진 궤적은 측정된 데이터로부터 매개변수화될 수 있다.
• Cayley-Hamilton 정리를 활용하여 관측 가능성 행렬 $O_L$이 관측 불가능 부분공간을 제거함을 보이며, 초기 상태를 제어 가능 및 관측 불가능 성분으로 분해할 수 있다.
• 측정된 데이터의 하 Hankel 행렬을 이용해 입력-출력 궤적의 선형 매개변수화를 유도하며, $\begin{bmatrix} H_L(u) \ H_L(y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & I \\ O_L & T_L \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0^a + x_0^b \\ u \end{bmatrix}$의 구조를 활용한다.
• 지속적 자극의 필요 차수를 $n+L$에서 $\delta_{\text{min}} + L$로 감소시키며, 여기서 $\delta_{\text{min}}$는 시스템 행렬 $A$의 최소다항식의 차수이다. 이는 시스템의 동역학이 이 다항식에 의해 결정됨을 활용한 것이다.
• 동질적인 다중 에이전트 시스템에서, 입력-출력 데이터의 하 Hankel 행렬을 이용한 구조적 선형 시스템을 풀어 마르코프 매개변수를 계산한다.

Figure 1: Output trajectory for Online DeePC. The blue and red curves denote $y_{[0,T-1]}$ and $y_{[T,K-1]}$ , respectively. The dashed lines denote the output reference values.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데이터 기반 궤적 매개변수화를 전순가능한 시스템을 초월해 확장할 수 있는가?
• RQ2 모든 대응 궤적을 측정된 궤적의 선형 조합으로 표현할 수 있는 초기 상태의 정확한 부분공간은 무엇인가?
• RQ3 지속적 자극의 필요 차수를 $n+L$ 이하로 낮출 수 있는가?
• RQ4 전순가능하지 않은 시스템에 대해서도 데이터 기반 예측 제어가 모델 기반 예측 제어와 동치인가?

주요 결과

• 제어 가능 부분공간 $\mathcal{R}$, 관측 불가능 부분공간 $\mathcal{O}$, 그리고 데이터 기반 부분공간 $\mathcal{K}[x_0^1, \dots, x_0^\tau]$의 합에 속한 초기 상태를 가진 궤적은 시스템이 전순가능하지 않더라도 측정된 데이터로부터 매개변수화될 수 있다.
• 지속적 자극 조건의 필요 차수는 $n+L$에서 $\delta_{\text{min}} + L$로 감소하며, 여기서 $\delta_{\text{min}}$는 시스템 행렬 $A$의 최소다항식의 차수이다. 이는 데이터 요구량을 크게 줄인다.
• 데이터 기반 예측 제어는 전순가능하거나 전순가능하지 않은 시스템 모두에서 모델 기반 예측 제어와 동치이며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 동질적인 다중 에이전트 시스템에서는, 이전 방법이 $n+L$의 지속적 자극을 요구하는 데 비해, 데이터 요구량이 한 단계 감소한다.
• 전체 시스템이 전순가능하지 않더라도, 집합적 지속적 자극 차수 $(N+1)\widebar{n}+1$ 조건 하에서 수집된 입력-출력 데이터로부터 시스템의 마르코프 매개변수를 유일하게 계산할 수 있다.

Figure 2: Minimum number of length $T=120$ input-output trajectories required to identify system ( 14 ).