[논문 리뷰] On convergence of the Flint Hills series

Max A. Alekseyev|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 27.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 플린트 힐스 급수 ∑1/(n³·sin²(n))의 수렴성과 π의 무리수 측도 μ(π) 사이의 직접적인 연결 고리를 설정한다. 이는 급수의 수렴이 μ(π) ≤ 2.5임을 의미함을 증명하며, 현재까지 알려진 최상의 상한 7.6063보다 크게 향상된 결과이다. 이 결과는 ∑1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) 형태의 급수로 일반화되며, μ(π)에 기반한 수렴 조건이 도출된다.

ABSTRACT

It is not known whether the Flint Hills series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3\cdot\sin(n)^2}$ converges. We show that this question is closely related to the irrationality measure of $π$, denoted $μ(π)$. In particular, convergence of the Flint Hills series would imply $μ(π) \leq 2.5$ which is much stronger than the best currently known upper bound $μ(π)\leq 7.6063...$. This result easily generalizes to series of the form $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^u\cdot |\sin(n)|^v}$ where $u,v>0$. We use the currently known bound for $μ(π)$ to derive conditions on $u$ and $v$ that guarantee convergence of such series.

연구 동기 및 목표

• 플린트 힐스 급수 ∑₁^∞ 1/(n³·sin²(n))의 수렴성을 조사하기
• 이 급수의 수렴성과 π의 무리수 측도 μ(π) 사이의 관계를 설정하기
• 더 넓은 범주인 ∑1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) 형태의 급수에 대해 수렴 조건을 일반화하기
• 기존의 μ(π)에 대한 상한 값에 기반한 수렴 기준을 도출하기
• 수렴 또는 발산이 μ(π) 값에 미치는 영향을 명확히 하기

제안 방법

• 무리수 측도 μ(π)를 정의함: m의 하한으로서, |π - p/q| < 1/qᵐ 이 성립하는 서로소 p, q의 조합이 유한 개 이하일 때의 값으로 정의됨
• 레마 1을 적용하여 |sin(n)|을 n과 가장 가까운 π의 배수와의 거리를 이용해 아래로 유계화함
• m = ⌊n/π⌋일 때, |n - mπ| ≤ π/2 이면 |sin(n)| ≥ (2/π)·|n - mπ| 임을 이용함
• 만약 |π - p/q| < 1/qᵏ 인 경우가 유한 개 이하일 경우, 큰 n에 대해 |sin(n)|이 적어도 n⁻ᵏ⁺¹ 만큼 증가함을 이용함
• 모든 ε > 0 에 대해 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) = O(1/nᵘ⁻⁽μ(π)⁻¹⁾ᵛ⁻ᵉ) 라는 유계를 적용하여 감쇠 속도 분석함
• ζ(w)와 비교하여 p-급수 수렴 테스트를 적용함. 여기서 w = u - v(μ(π) - 1) - ε > 1 이어야 함

실험 결과

연구 질문

• RQ1 플린트 힐스 급수 ∑₁^∞ 1/(n³·sin²(n))는 수렴하는가?
• RQ2 플린트 힐스 급수의 수렴성과 무리수 측도 μ(π) 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 u와 v에 대해 어떤 조건에서 일반화된 급수 ∑₁^∞ 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ)가 수렴하는가?
• RQ4 μ(π)에 대한 알려진 상한 값은 이러한 급수의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 급수의 발산은 μ(π)에 대한 비자명한 하한을 이끌어낼 수 있는가?

주요 결과

• 플린트 힐스 급수 ∑₁^∞ 1/(n³·sin²(n))의 수렴은 μ(π) ≤ 2.5임을 의미하며, 현재까지 알려진 최상의 상한 7.6063보다 훨씬 강력한 결과이다.
• 만약 μ(π) < 1 + u/v 이면, 수열 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ)는 0으로 수렴한다.
• 만약 μ(π) > 1 + u/v 이면, 수열 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ)는 발산하며, 이는 0에서 멀리 떨어진 값을 가지는 부분수열을 포함하기 때문이다.
• 급수 ∑₁^∞ 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ)는 μ(π) < 1 + (u - 1)/v 일 때 항상 수렴한다. 이는 (u,v) = (8,1), (15,2), (21,3) 등의 경우를 포함하며, 현재의 상한 μ(π) ≤ 7.6063 하에서 성립한다.
• 플린트 힐스 급수의 발산은 코로나리 6에 따라 μ(π)에 대한 비자명한 하한을 도출하지 못한다.
• 현재까지 알려진 최상의 상한 μ(π) ≤ 7.6063 에 따르면, 1 + u/v > 7.6063 를 만족하는 모든 (u,v)에 대해 수열 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ)는 0으로 수렴한다. 이는 (7,1), (14,2), (20,3) 등의 경우를 포함한다.