[논문 리뷰] On convex holes in $d$-dimensional point sets

Boris Bukh, Ting-Wei Chao외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 17.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 위치에 있는 d차원 점집합에서 가장 큰 구멍의 크기에 대한 상한을 향상시킨다. 임의로 큰 집합이 O(4^d d log d) 또는 그 이상의 크기의 구멍을 가지지 않음을 보여주며, 밑수 2의 유사 (t,m,s)-네트를 기반으로 한 새로운 구성법을 사용하여 2^{7d}의 상한을 달성한다. 이는 이전의 Valtr의 d^{d+o(d)} 상한보다 크게 향상된 결과이며, h(d)에 대한 보다 정밀한 추정치를 제공한다.

ABSTRACT

Given a finite set $A \subseteq \mathbb{R}^d$, points $a_1,a_2,\dotsc,a_{\ell} \in A$ form an $\ell$-hole in $A$ if they are the vertices of a convex polytope which contains no points of $A$ in its interior. We construct arbitrarily large point sets in general position in $\mathbb{R}^d$ having no holes of size $O(4^dd\log d)$ or more. This improves the previously known upper bound of order $d^{d+o(d)}$ due to Valtr. The basic version of our construction uses a certain type of equidistributed point sets, originating from numerical analysis, known as $(t,m,s)$-nets or $(t,s)$-sequences, yielding a bound of $2^{7d}$. The better bound is obtained using a variant of $(t,m,s)$-nets, obeying a relaxed equidistribution condition.

연구 동기 및 목표

• 일반 위치에 있는 d차원 점집합에서의 구멍 최대 크기에 대한 기존 상한을 향상시키는 것.
• h(d) — 즉, 모든 충분히 큰 d차원 점집합이 ℓ-홀을 포함하는 최대 ℓ — 을 결정하는 오랜 동안 열려 있던 문제를 다루는 것.
• 조합론적 및 불균형성 이론적 도구를 사용하여 R^d 내에서 큰 구멍이 없는 점집합을 구성하는 것.
• Valtr의 이전 상한 d^{d+o(d)}을 개선하기 위해 소수의 곱 구조를 더 효율적인 밑수 2 네트 기반의 균등 분포 프레임워크로 대체하는 것.

제안 방법

• 균등 분포를 위해 알려진 이론에서 유래한 밑수 2의 (t,m,s)-네트를 사용하여 점집합을 구성하는 것.
• 더 작은 품질 매개변수 t를 允용하기 위해 허용 가능한 균등 분포 조건을 도입하는 것.
• 밑수 2의 (t,s)-순서열의 구조를 활용하여 고차원에서 허튼슨의 구성법을 일반화하는 것.
• 구성된 집합에서 큰 볼록 다면체가 비어 있을 수 없음을 보이기 위해 투영 및 볼록 hull의 논증을 적용하는 것.
• 중국인의 나머지 정리와 이진 부분상자들을 사용하여 공간 전역에 걸쳐 점들이 균일하게 분포하도록 보장하는 것.
• 만약 점이 부분집합들의 볼록 hull의 상대 내부에 있다면, 그 점은 큰 빈 볼록 다면체의 일부가 될 수 없다는 것을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 위치에 있는 d차원 점집합에서의 구멍의 최대 크기는 얼마인가?
• RQ2 Valtr의 d^{d+o(d)} 결과를 초월하여 h(d)에 대한 지수적 상한을 더 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 밑수 2의 (t,m,s)-네트를 기반으로 한 구성법이 이전의 소수 기반 방법보다 더 나은 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 O(4^d d log d) 또는 그 이상의 크기의 구멍이 없는 임의로 큰 d차원 점집합을 구성할 수 있는가?
• RQ5 밑수 2 네트를 기반으로 한 구성법은 Valtr의 방법에서 관찰된 소수 곱의 초지수적 의존성 문제를 피할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 새로운 상한을 확립한다: h(d) < 2^{7d}로, Valtr의 d^{d+o(d)} 상한을 개선한다.
• 특정 차원에서는 상한이 훨씬 더 날카롭게 작아진다: h(3) ≤ 32, h(4) ≤ 240, h(5) ≤ 988, h(6) ≤ 8000.
• 더 나은 상한은 품질 매개변수를 완화한 (t,m,s)-네트의 변형을 사용하여 달성되었으며, 이는 큰 소수 인자를 피할 수 있다.
• 밑수 2의 (t,s)-순서열과 그 절단을 사용하여 분포가 통제되고 큰 빈 볼록 다면체가 없는 점집합을 생성하는 데 사용된다.
• 저자들은 이 방법으로 구성된 임의의 집합이 O(4^d d log d)를 초과하는 구멍을 포함할 수 없음을 보여주며, 이는 이전 결과보다 점점 더 우수한 점근적 성능을 보인다.
• 이 방법은 Valtr의 상한에서 초지수적 항이 발생하는 원인이 소수 모듈로의 다수 사용이었음을 보여주며, 이를 더 나은 확장성과 함께 단일 밑수 2의 구조로 대체할 수 있음을 시사한다.