[논문 리뷰] On corners scattering stably and stable shape determination by a single far-field pattern

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 11.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 43인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 단일 원거리장 패턴을 사용한 역음향산산에서 날카러운 정량적 안정성 추정을 수립한다. 다각형 또는 다면체 형태의 투과성 매질 산란체의 지지체가 로그 유형의 안정성으로 안정적으로 복원될 수 있음을 증명하며, 산란체 경계의 모서리가 원거리장 에너지에 대한 양의 하한을 생성함으로써 등방성 재료에 모서리가 포함된 안정적인 투명성 코팅이 불가능함을 규명한다.

ABSTRACT

In this paper, we establish two sharp quantitative results for the direct and inverse time-harmonic acoustic wave scattering. The first one is concerned with the recovery of the support of an inhomogeneous medium, independent of its contents, by a single far-field measurement. For this challenging inverse scattering problem, we establish a sharp stability estimate of logarithmic type when the medium support is a polyhedral domain in $\mathbb{R}^n$, $n=2,3$. The second one is concerned with the stability for corner scattering. More precisely if an inhomogeneous scatterer, whose support has a corner, is probed by an incident plane-wave, we show that the energy of the scattered far-field possesses a positive lower bound depending only on the geometry of the corner and bounds on the refractive index of the medium there. This implies the impossibility of approximate invisibility cloaking by a device containing a corner and made of isotropic material. Our results sharply quantify the qualitative corner scattering results in the literature, and the corresponding proofs involve much more subtle analysis and technical arguments. As a significant byproduct of this study, we establish a quantitative Rellich's theorem that continues smallness of the wave field from the far-field up to the interior of the inhomogeneity. The result is of significant mathematical interest for its own sake and is surprisingly not yet known in the literature.

연구 동기 및 목표

• 단일 원거리장 측정치로부터 투과성 비균일 매질의 지지체를 복원하는 데 있어서 날카운 안정성 추정을 수립하기.
• 모서리가 있는 산란체에 대해 산란 원거리장 에너지에 대한 양의 하한을 증명하여 정성적 모서리 산란 현상을 정량화하기.
• 등방성 재료에 모서리가 포함된 경우 안정적인 투명성 코팅이 불가능함을 보여주기.
• 원거리장에서의 소형성 정보를 산란체 내부로 전파하는 새로운 정량적 Rellich 유형 정리를 개발하기.
• 모서리 산란의 안정성과 그 역산산산 및 코팅에 대한 영향에 대한 엄밀한 수학적 기초 제공하기.

제안 방법

• 시간 조화 음향 산란을 모델링하기 위해 컴팩트한 지지체를 가진 잠재력과 함께 헬름홀츠 방정식를 사용한다.
• 원거리장 패턴을 단위 구면 위의 산란 강도로 정의하기 위해 솔로몬드 방사 조건을 적용한다.
• 원거리장에서의 소형성을 산란체 내부로 전파하는 데 새로운 정량적 Rellich 유형 정리를 활용한다.
• 기하학적 분석과 볼록성 추론을 통해 원거리장 패턴의 차이에 기반해 두 산란체의 지지체 간의 하우스도르프 거리에 상한을 구한다.
• 모서리의 기하학적 특성과 굴절률의 상한을 분석하여 모서리가 있는 산란체에 대해 원거리장 에너지에 대한 양의 하한을 유도한다.
• 미세국소 해석 및 정량적 유일성 연속성 기법을 적용하여 로그 안정성 추정을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 투과성 음향 산란체의 형상(지지체)은 단일 원거리장 패턴으로부터 안정적으로 복원될 수 있는가?
• RQ2 단일 원거리장 측정에 기반한 역형상 결정 문제에 대한 정량적 안정성 추정은 무엇인가?
• RQ3 산란체 경계에 모서리가 존재할 경우 안정적인 비영 원거리장 응답이 발생하는가?
• RQ4 등방성 재료에 모서리가 포함된 경우 약간의 투명성 코팅이 달성 가능한가?
• RQ5 산란된 원거리장 에너지에 대한 양의 하한을 보장하는 최소 기하 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 2차원 다각형 또는 3차원 상자형 투과성 산란체의 지지체를 단일 원거리장 패턴으로 복원하는 데 날카운 로그 안정성 추정이 수립된다.
• 이 안정성 추정은 이중로그 유형이며, 지지체 간의 하우스도르프 거리가 원거리장 패턴 오차의 이중로그 함수로 유계임을 의미한다.
• 산란체 지지체에 모서리가 있을 경우 원거리장 에너지에 대해 양의 하한이 증명되며, 이는 오직 모서리 기하학과 굴절률의 상한에 의존한다.
• 이 하한은 등방성 재료에 모서리가 포함된 산란체가 안정적으로 코팅될 수 없음을 의미하며, 이러한 재료를 사용한 근사 투명성 코팅이 불가능함을 규명한다.
• 원거리장에서의 파동장 소형성 정보가 산란체 내부의 소형성으로 이어지는 새로운 정량적 Rellich 유형 정리가 수립된다.
• 이 결과는 문헌에서 처음으로 정성적 모서리 산란 현상에 대한 정량적 버전을 제공하며, 모서리 각도에 대한 날카운 기하학적 의존성을 보여준다.