[논문 리뷰] On covariant phase space methods

B. Juliá, Sebastián Silva|ArXiv.org|2002. 05. 08.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 4인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 라그랑지안이 아닌 운동 방정식에서 직접 구성함으로써, 기존의 노이터 기반 접근에서 발생하는 게이지에 의존하는 모호성 없이 새로운 명확한 양자화 가능한 해밀토니안 형식을 제안한다. 이 방법은 보조 장을 도입하여 일阶 형식을 구성함으로써, 공변 해밀토니안과 해밀토니안 형식을 정의하며, 새로운 규정을 적용할 경우 공변 해밀토니안 형식과 레그게-타이텔보임 방법이 일관되게 보존된 양을 산출한다.

ABSTRACT

It is well known that the Lagrangian and the Hamiltonian formalisms can be combined and lead to "covariant symplectic" methods. For that purpose a "pre-symplectic form" has been constructed from the Lagrangian using the so-called Noether form. However, analogously to the standard Noether currents, this symplectic form is only determined up to total divergences which are however essential ingredients in gauge theories. We propose a new definition of the symplectic form which is covariant and free of ambiguities in a general first order formulation. Indeed, our construction depends on the equations of motion but not on the Lagrangian. We then define a generalized Hamiltonian which generates the equations of motions in a covariant way. Applications to Yang-Mills, general relativity, Chern-Simons and supergravity theories are given. We also consider nice sets of possible boundary conditions that imply the closure and conservation of the total symplectic form. We finally revisit the construction of conserved charges associated with gauge symmetries, from both the "covariant symplectic" and the "covariantized Regge-Teitelboim" points of view. We find that both constructions coincide when the ambiguity in the Noetherian pre-symplectic form is fixed using our new prescription. We also present a condition of integrability of the equations that lead to these quantities.

연구 동기 및 목표

• 노이터 기반의 전해밀토니안 형식에서 발생하는 장기적인 모호성 문제를 해결하기 위해, 이는 게이지 이론에서 총 미분에 대해서만 정의되기 때문이다.
• 라그랑지안에 의존하지 않고 운동 방정식에서 직접 구성된 공변 위상공간 형식을 개발하기 위해.
• 공간-시간의 분리 없이도 동역학을 공변적으로 생성하는 일반화된 해밀토니안 밀도를 정의하기 위해.
• 적절한 경계 조건 하에서 해밀토니안 형식이 닫힘과 보존을 보장하기 위해.
• 새로운 규정 하에서 공변 해밀토니안 방법과 레그게-타이텔보임 방법 간의 보존된 양에 대한 등가성을 확립하기 위해.

제안 방법

• 모든 장 이론을 최대 한 개의 시공간 도함수를 포함하는 일阶 형식으로 재구성하기 위해 보조 장을 도입하기 위해.
• 라그랑지안이나 그 변분에 의존하지 않고 운동 방정식에만 의존하는 명백한 공변성 보장된 새로운 해밀토니안 밀도를 정의하기 위해.
• 공간-시간 공변적인 프레임워크에서 해밀토니안 진동 방정식의 직접적 일반화인, 공변 파oisson 괄호 유사한 구조를 통해 운동 방정식을 생성하는 일반화된 해밀토니안 밀도를 구성하기 위해.
• 무한차원 장 구성공간 위에서의 변분과 해밀토니안 구조를 다루기 위해 $ \delta $-미분 기반의 압축된 미분 형식 기법을 사용하기 위해.
• 양-밀스, 일반 상대성 이론, 초전도체 이론, 11차원 초중력 이론에 이 방법을 적용하고 기존의 노이터 방법과 결과를 비교하기 위해.
• 경계 성분에서 해밀토니안 형식의 닫힘을 분석함으로써 보존된 양 함수의 적분 가능성 조건을 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이터 전해밀토니안 형식에서 발생하는 총 미분에 의한 모호성으로 인한 문제를 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ2 라그랑지안에 의존하지 않고 운동 방정식에서 직접 해밀토니안 형식을 구성할 수 있는가, 동시에 공변성을 유지할 수 있는가?
• RQ3 새로운 해밀토니안 형식이 게이지 대칭에 대해 일관되고 모호성이 없는 보존된 양을 도출할 수 있는가?
• RQ4 어떤 경계 조건 하에서 해밀토니안 형식이 닫히고 보존되는가?
• RQ5 노이터 형식의 모호성이 제거된 상황에서 새로운 방법이 레그게-타이텔보임 방법과 동치가 되는가?

주요 결과

• 제안된 해밀토니안 형식은 라그랑지안이나 그 변분에 의존하지 않기 때문에 모호성이 없음을 입증하였다.
• 모호성이 새로운 규정을 통해 제거된 경우, 기존의 노이터 전해밀토니안 형식을 성공적으로 재현하며 이로써 이전의 일관성 문제를 해결하였다.
• 일반화된 해밀토니안 밀도는 공변적으로 동역학을 생성하며, 공간-시간 공변 프레임워크에서 해밀토니안 진동 방정식의 직접적 일반화를 제공한다.
• 양-밀스, 중력, 초전도체 이론, 초중력 이론에 대해 새로운 방법이 모호성이 제거된 상황에서 알려진 결과와 일致하는 해밀토니안 구조를 도출하였다.
• 보존된 양의 적분 가능성 조건은 해밀토니안 형식이 경계에서 닫힐 경우에 성립하며, 이 조건은 $ \hat{\omega}^\mu_{ij} $를 포함하는 위상적 제약 조건으로 단순화된다.
• 새로운 해밀토니안 형식을 사용할 경우, 공변 해밀토니안 방법과 레그게-타이텔보임 방법 간의 보존된 양에 대한 등가성이 입증되었으며, 장기적인 열린 문제를 해결하였다.