[논문 리뷰] On critical and supercritical pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equations

Woocheol Choi, Younghun Hong외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 25.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ H^{1/2} $-임계 및 초임계 비선형성을 갖는 가짜 상대론적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 비자명한 해의 존재성 및 비존재성 기준을 수립한다. 비상대론적 극한($ c \to \infty $)에서의 섭동 접근법과 확장 문제에 대한 포호자에프 유형의 항등식을 사용하여, $ \frac{n+1}{n-1} \leq p < \frac{n+2}{n-2} $ 이며 $ mc^2 \geq \kappa_0 \mu $일 때 비자명한 해가 존재함을 증명한다. 반면 초상대론적 영역에서는 또는 비선형성이 $ H^1 $-임계/초임계일 경우 유계 비자명한 해는 존재하지 않는다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate existence and non-existence of a nontrivial solution to the pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equation $$\left( \sqrt{-c^2Δ+ m^2 c^4}-mc^2 ight) u + μu = |u|^{p-1}u\quad extrm{in}~\mathbb{R}^n~(n \geq 2)$$ involving an $H^{1/2}$-critical/supercritical power-type nonlinearity, i.e., $p \geq \frac{n+1}{n-1}$. We prove that in the non-relativistic regime, there exists a nontrivial solution provided that the nonlinearity is $H^{1/2}$-critical/supercritical but it is $H^1$-subcritical. On the other hand, we also show that there is no nontrivial bounded solution either $(i)$ if the nonlinearity is $H^{1/2}$-critical/supercritical in the ultra-relativistic regime or $(ii)$ if the nonlinearity is $H^1$-critical/supercritical in all cases.

연구 동기 및 목표

• 가짜 상대론적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 $ H^{1/2} $-임계 및 초임계 비선형성에서 비자명한 해의 존재성과 비존재성 문제를 해결하기.
• 상대론적 영역(비상대론적 대비 초상대론적)과 비선형성 강도($ p $)가 해의 존재성에 미치는 영향을 규명하기.
• 표준 접근법이 실패하는 $ H^{1/2} $-초임계 범위를 넘어서 변분 방법을 확장하기.
• 가짜 상대론적 NLS와 그 비상대론적 및 초상대론적 극한 사이의 엄밀한 연결 고리를 수립하기.

제안 방법

• 비상대론적 극한($ c \to \infty $)에서의 섭동 접근법을 사용하여 비상대론적 기저 상태 $ u_\infty $ 근처의 해를 구성하기.
• 확장 문제를 활용해 가짜 상대론적 연산자에 대한 포호자에프 유형의 항등식을 도출하여 비존재성 증명을 가능하게 하기.
• 수축 사상 원리를 $ u_\infty $의 작은 이웃에서 적용하여 유일성 및 수렴 속도를 증명하기.
• 비상대론적 극한에서 수렴 속도 $ \|u_c - u_\infty\|_{H^1 \cap W^{1,q}} = O(1/c) $ ( $ 1 < p \leq 2 $) 및 $ O(1/c^2) $ ( $ p > 2 $) 를 확립하기.
• 비자명한 $ H^1 \cap L^\infty $ 해들 중에서 작용 함수 $ I_c $ 를 최소화하는 해로 약한 기저 상태를 정의하기, 특히 초임계 영역에서도 적용 가능하게 하기.
• $ q > n $ 인 경우 $ H^1 \cap L^\infty $ 와 $ H^1 \cap W^{1,q} $ 의 노름이 동치임을 이용해 강한 위상에서의 수렴을 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성이 $ H^{1/2} $-임계 또는 초임계일 경우, 가짜 상대론적 NLS에 비자명한 해가 존재하는가?
• RQ2 해의 존재성은 상대론적 영역(비상대론적($ c \gg 1 $) 대비 초상대론적($ m \ll 1 $))에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 비상대론적 기저 상태는 $ c \to \infty $ 일 때 가짜 상대론적 방정식의 해들로 근사될 수 있는가?
• RQ4 비상대론적 영역에서 구성된 해는 반지름 대칭 함수들 사이에서 유일한가?
• RQ5 $ H^{1/2} $-초임계 영역에서도 이 해는 약한 의미에서 기저 상태로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• $ \frac{n+1}{n-1} \leq p < \frac{n+2}{n-2} $ 이고 $ mc^2 \geq \kappa_0 \mu $ 일 때, 비자명한 해 $ u_c \in H^1_r \cap L^\infty $ 가 존재하며, 여기서 $ \kappa_0 \geq 1 $ 은 큰 상수이다.
• $ p \geq \frac{n+1}{n-1} $ 이고 $ mc^2 \leq \mu $ 이거나, $ p \geq \frac{n+2}{n-2} $ 일 경우, 어떤 $ m, c, \mu $ 에 관계없이 비자명한 유계 해는 존재하지 않는다.
• $ c \to \infty $ 일 때 해 $ u_c $ 는 비상대론적 기저 상태 $ u_\infty $ 로 수렴하며, 수렴 속도는 $ 1 < p \leq 2 $ 에서 $ \|u_c - u_\infty\|_{H^1 \cap W^{1,q}} = O(1/c) $ 이고, $ p > 2 $ 에서는 $ O(1/c^2) $ 이다.
• $ u_\infty $ 의 작은 이웃에서, 반지름 대칭 함수들 사이의 $ H^1_r \cap L^\infty $ 에서 해 $ u_c $ 는 수축 사상에 의해 유일함이 증명된다.
• $ 1 < p < \frac{n+1}{n-1} $ 일 경우, 해 $ u_c $ 는 유일한 양의 반지름 대칭 기저 상태와 일치하며, 이는 $ H^{1/2} $-초임계 영역에서의 유일성에 대한 별도의 증명이 된다.
• 저자들은 $ \frac{n+1}{n-1} < p < \frac{n+2}{n-2} $ 의 $ H^{1/2} $-초임계 범위에서 구성된 해 $ u_c $ 가 약한 기저 상태일 것이라 추측하며, 이는 모든 비자명한 $ H^1 \cap L^\infty $ 해들 중에서 작용 함수 $ I_c $ 를 최소화한다고 본다.