[논문 리뷰] On critical cardinalities related to $Q$-sets

Тарас Банах, Michał Machura외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 02.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 18인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 실수선 $\mathbb{R}$ 상에서 비-$Q$-집합의 최소 크기로 정의된 기수 $\tau_0$를 조사하여, 이 기수가 소수기수 기수 계층 내에서의 위치를 규명한다. 강제법 기법을 사용하여 $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$의 일致성을 증명하고, 임의의 $\mathfrak{q}_0$-유연한 cccc $\sigma$-이데알 $\mathcal{I}$에 대해 $\mathfrak{q}_0 \leq \mathrm{non}$(\mathcal{I})$임을 보이며, 집합론적 위상수학에서 $Q$-집합 경계에 대한 이해를 발전시킨다.

ABSTRACT

In this note we collect some known information and prove new results about the small uncountable cardinal $\mathfrak q_0$. The cardinal $\mathfrak q_0$ is defined as the smallest cardinality $|A|$ of a subset $A\subset \mathbb R$ which is not a $Q$-set (a subspace $A\subset\mathbb R$ is called a $Q$-set if each subset $B\subset A$ is of type $F_σ$ in $A$). We present a simple proof of a folklore fact that $\mathfrak p\le\mathfrak q_0\le\min\{\mathfrak b,\mathrm{non}(\mathcal N),\log(\mathfrak c^+)\}$, and also establish the consistency of a number of strict inequalities between the cardinal $\mathfrak q_0$ and other standard small uncountable cardinals. This is done by combining some known forcing results. A new result of the paper is the consistency of $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$, where $\mathfrak{lr}$ denotes the linear refinement number. Another new result is the upper bound $\mathfrak q_0\le\mathrm{non}(\mathcal I)$ holding for any $\mathfrak q_0$-flexible cccc $σ$-ideal $\mathcal I$ on $\mathbb R$.

연구 동기 및 목표

• 핵심 참고문헌의 최종판에 존재하지 않아서, 기수 $\mathfrak{q}_0$에 관한 알려진 결과들을 수집하고 체계화하기 위해.
• 소수기수 기수 계층 내에서 $\mathfrak{q}_0$의 위치를 명확히 하여, 특히 $\mathfrak{p}$, $\mathfrak{b}$, $\mathrm{non}(\mathcal{N})$, 및 $\log(\mathfrak{c}^+)$와의 관계를 규명하기 위해.
• 강제법 구축을 통해 $\mathfrak{q}_0$와 다른 표준 소수기수 기수들 사이의 엄밀한 부등식 관계의 일치성을 확립하기 위해, 특히 $\mathfrak{lr}$에 대해.
• 이진 트리 $2^{<\omega}$ 상의 분지들의 약하게 분리된 가닥 가중치 집합에 대한 $\mathfrak{q}_0$의 특성화를 제공함으로써, 조합론적 집합론과 연결하기 위해.

제안 방법

• 기존의 기하학적 기법을 활용하여, 이진 트리 $2^{<\omega}$ 상의 거의 분리된 가닥 가중치 집합에 대해 $\mathfrak{q}_0$의 새로운 특성화를 유도한다. 여기서 $\mathfrak{q}_0$는 자신과 여집합 사이에서 약하게 분리될 수 없는 부분집합을 포함하는 최소 크기의 가닥 집합의 크기와 같다.
• 강제법 반복을 통해 $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$인 모델을 구성한다. 헤클러 강제법 대신 다우의 강제법을 사용하여 강한 유한 교차 성질을 유지하고, 의사교차점을 추가하지 않도록 한다.
• 강력한 유한 교차 성질을 가진 가족에 대해 다우의 결과를 활용하여, 그 강제법이 의사교차점을 추가하지 않음을 증명함으로써, 반복 모델에서 $\mathfrak{q}_0 \geq \lambda$임을 보장한다.
• 브렌들의 $\mathfrak{dp}$ 및 $\mathfrak{ap}$에 관한 연구 결과를 응용하여, $\mathfrak{q}_0$를 다른 기수 불변량과 연결한다.
• 강제법을 통해 $\Diamond(2,=)$가 성립하는 모델을 구성하였으며, 이는 $\mathfrak{q} = \omega_1$임을 의미한다. 따라서 이 모델에서는 비가산 $Q$-집합이 존재하지 않으며, 이는 $\mathfrak{q}_0 > \omega_1$의 일치성을 뒷받침한다.
• 임의의 $\mathfrak{q}_0$-유연한 cccc $\sigma$-이데알 $\mathcal{I}$에 대해 $\mathfrak{q}_0 \leq \mathrm{non}(\mathcal{I})$임을 증명하여, $\mathfrak{q}_0$에 대한 새로운 상계를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZFC와 일致하는가? $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$의 부등식은.
• RQ2 $\mathfrak{q}_0$가 $\mathrm{cov}(\mathcal{M})$, $\mathfrak{e}$, 또는 $\mathfrak{g}$보다 엄밀히 클 수 있는가?
• RQ3 $\mathfrak{q}_0$와 $\mathfrak{q}_0$-유연한 cccc $\sigma$-이데알 $\mathcal{I}$에 대해 $\mathrm{non}(\mathcal{I})$ 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 밀러의 추측에 따르면, $\mathfrak{q}_0 > \mathrm{cov}(\mathcal{M})$는 일치하는가?
• RQ5 다우의 모델 또는 그 수정된 버전에서 $\mathfrak{e}$와 $\mathfrak{g}$의 값은 무엇인가?

주요 결과

• $\mathfrak{q}_0$는 $\mathfrak{p} \leq \mathfrak{q}_0 \leq \min\{\mathfrak{b}, \mathrm{non}(\mathcal{N}), \log(\mathfrak{c}^+)\}$를 만족하며, 이는 소수기수 기수 계층 내에서의 위치를 확인한다.
• 헤클러 강제법 대신 다우의 강제법을 사용한 강제법 반복을 통해 $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$의 일치성이 입증된다. 이는 강한 유한 교차 성질을 유지한다.
• 임의의 $\mathfrak{q}_0$-유연한 cccc $\sigma$-이데알 $\mathcal{I}$에 대해 $\mathfrak{q}_0 \leq \mathrm{non}(\mathcal{I})$임이 입증되었으며, 이는 $\mathfrak{q}_0$에 대한 새로운 상계를 제공한다.
• 구성된 모델은 $\Diamond(2,=)$를 만족하며, 이는 $\mathfrak{q} = \omega_1$임을 의미한다. 따라서 이 모델에서는 비가산 $Q$-집합이 존재하지 않는다.
• 논문은 $\mathfrak{q}_0 = \mathfrak{b} < \mathfrak{e}$가 일치하는 것으로 확인하였으며, 브라스의 연구에서 보여진 바와 같다. 또한 $\mathfrak{q}_0 > \mathrm{cov}(\mathcal{M})$가 일치하는지 여부는 여전히 열려 있는 문제로 제기된다.
• 논문은 이진 트리 상의 약하게 분리된 가닥 가중치 집합에 대한 $\mathfrak{q}_0$의 특성화를 제공하여, 조합론적 집합론과 $\mathfrak{ap}$, $\mathfrak{dp}$와의 연결을 맺는다.