[논문 리뷰] On Critical Points of Random Polynomials and Spectrum of Certain Products of Random Matrices

Tulasi Ram Reddy Annapareddy|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 17.

Random Matrices and Applications참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 결정론적 수열에서 동일한 근의 점측도를 가지는 무작위로 선택된 근을 가진 랜덤 다항식의 영점과 임계점의 경험적 측도가 동일한 극한으로 수렴함을 증명한다. 또한 ±1 지수를 가진 i.i.d. Ginibre 행렬의 곱은 결정론적 점과정을 형성하는 고유값 분포를 가지며, 이는 기존의 k=2일 때 반대 부호 및 모두 양수 지수의 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In the first part of this thesis, we study critical points of random polynomials. We choose two deterministic sequences of complex numbers, whose empirical measures converge to the same probability measure in complex plane. We make a sequence of polynomials whose zeros are chosen from either of sequences at random. We show that the limiting empirical measure of zeros and critical points agree for these polynomials. As a consequence we show that when we randomly perturb the zeros of a deterministic sequence of polynomials, the limiting empirical measures of zeros and critical points agree. This result can be interpreted as an extension of earlier results where randomness is reduced. Pemantle and Rivin initiated the study of critical points of random polynomials. Kabluchko proved the result considering the zeros to be i.i.d. random variables. In the second part we deal with the spectrum of products of Ginibre matrices. Exact eigenvalue density is known for a very few matrix ensembles. For the known ones they often lead to determinantal point process. Let X1, X2,..., Xk be i.i.d Ginibre matrices of size n ×n whose entries are standard complex Gaussian random variables. We derive eigenvalue density for matrices of the form X1 e1 X2 e2 ... Xk ek , where ei = ±1 for i =1,2,..., k. We show that the eigenvalues form a determinantal point process. The case where k =2, e1 +e2 =0 was derived earlier by Krishnapur. In the case where ei =1 for i =1,2,...,n was derived by Akemann and Burda. These two known cases can be obtained as special cases of our result.

연구 동기 및 목표

• 두 결정론적 수열에서 동일한 극한 측도를 가지는 경험적 측도를 가진 무작위로 선택된 영점을 사용해 형성된 랜덤 다항식의 임계점의 극한 경험적 분포를 조사하는 것.
• 기존의 랜덤 다항식 결과를 확장하여 i.i.d. 영점에서의 무작위성 가정을 결정론적 수열로 수렴하는 경험적 측도로 축소하는 것.
• i.i.d. Ginibre 행렬의 곱에 대해 ±1 지수를 가질 경우의 정확한 고유값 밀도를 유도하는 것.
• 이러한 행렬 곱의 고유값이 결정론적 점과정을 형성함을 보이는 것.

제안 방법

• 복소평면에서 경험적 측도가 동일한 확률 측도로 수렴하는 두 개의 결정론적 수열에서 독립적으로 영점을 샘플링하여 랜덤 다항식을 구성한다.
• 확률론적 및 복소해석 기법을 사용하여 임계점의 극한 분포를 분석하고, 영점의 측도와 동일한 측도로 수렴함을 보인다.
• 행렬 곱을 X₁^{e₁}X₂^{e₂}...Xₖ^{eₖ} 형태로 모델링하며, 여기서 Xᵢ는 i.i.d. Ginibre 행렬이고 eᵢ = ±1이다.
• 랜덤 행렬 이론 및 결정론적 점과정 이론의 도구를 사용하여 공동 고유값 밀도를 도출한다.
• 기본 커널을 식별하여 도출된 고유값 밀도가 결정론적 점과정임을 확인한다.
• 기존의 특수 케이스—Krishnapur의 k=2일 때 e₁+e₂=0 및 Akemann-Burda의 모든 eᵢ=1—이 일반화된 프레임워크의 극한 케이스로 복원됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 결정론적 수열에서 동일한 극한 경험적 측도를 가지는 영점을 샘플링하여 형성된 랜덤 다항식의 임계점은 영점과 동일한 극한 분포를 가지는가?
• RQ2 영점이 결정론적 수열에서 무작위로 변형될 경우, 임계점의 극한 분포는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 i.i.d. Ginibre 행렬의 곱에 대해 ±1 지수를 가질 경우의 정확한 고유값 밀도는 무엇인가?
• RQ4 이러한 행렬 곱의 고유값 분포는 결정론적 점과정을 형성하는가?
• RQ5 k=2일 때 e₁+e₂=0 및 모든 eᵢ=1인 경우의 기존 결과들은 더 일반적인 프레임워크의 특수 케이스로 복원될 수 있는가?

주요 결과

• 랜덤 다항식의 임계점의 극한 경험 측도는 영점의 것과 정확히 일치한다. 이는 영점이 동일한 극한 측도를 가지는 결정론적 수열에서 샘플링된 경우에도 성립한다.
• 결정론적 수열에서의 다항식에 대한 무작위 변형은 임계점의 극한 경험 측도를 유지하며, Kabluchko의 i.i.d. 결과를 더 적은 무작위성의 설정으로 일반화한다.
• i.i.d. Ginibre 행렬과 eᵢ = ±1을 가진 행렬 곱 X₁^{e₁}X₂^{e₂}...Xₖ^{eₖ}의 고유값 밀도가 명시적으로 도출되었다.
• 이 행렬 곱의 고유값은 특정 커널 함수로 특징지어지는 결정론적 점과정을 형성한다.
• 이 결과는 Krishnapur의 케이스(k=2, e₁+e₂=0)와 Akemann-Burda의 케이스(모든 eᵢ=1)를 일반화하며, 이 두 경우는 모두 특수 케이스로 복원된다.
• 유도된 고유값 밀도는 랜덤 행렬 이론에서 비트리비얼한 곱 앙상블에 대한 새로운 정확한 해를 제공한다.